Beranda > perguruan tinggi > Modulo dan kongruensi

Modulo dan kongruensi

 

Modulo

Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat lebih besar nol. Operasi a mod m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. biasanya a mod m dengan m = 1 tidak ditulis. Artinya, mod 1 jarang dijumpai atau tak pernah dijumpai. Karena a mod 1 nilainya pasti sama dengan nol. Semua bilangan bulat pasti habis dibagi 1. Sehingga tidak ada gunanya mempertanyakan mod 1.


Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m. Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}. Kenapa hanya sampai pada m – 1? Perhatikan syarat 0 r < m. karena semesta pembicaraan ada di bilangan bulat, maka himpunan hasil aritmetika modulo hanya akan sampai pada m – 1. Karena sama saja untuk m dengan nol.


Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo:

  1. 23 mod 5 = 3 sama halnya dengan (23 = 5 4 + 3)
  2. 0 mod 17 = 0 sama halnya dengan (0 = 12 0 + 0)

 

 

Kongruen

Misalnya 28 mod 5 = 3 dan 18 mod 5 = 3, maka kita katakan 28 18 (mod 5) (baca: 28 kongruen dengan 18 dalam modulo 5). Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi ab. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a b (mod m).


Definisi : ditentukan p, q, m adalah bilangan-bilangan bulat dan m ≠ 0. Pp disebut kongruen dengan q modulo m, ditulis p ≡ q (mod m), jika dan hanya jika m p – q


Contoh :

22 2 (mod 5) ( 5 habis membagi 22 – 2 = 20)

6 14 (mod 10) (10 habis membagi –6 – 14 = –20)


Kekongruenan a b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan a = b + km dengan k adalah bilangan bulat.


Contoh :

17 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 3

7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11


Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r sebagai a r (mod m)


Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut:

1) 23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 3 (mod 5)

2) 27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 0 (mod 3)

 


Sifat-sifat pada kongruensi

m adalah bilangan bulat positif. Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat berikut.


Sifat refleksif

Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka p ≡ p (mod m)


Sifat simetris

Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sehingga p ≡ q (mod m), maka q ≡ p (mod m)


Sifat transitif

Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan bulat sehingga p ≡ q (mod m) dan q ≡ r (mod m) maka p ≡ r (mod m)


Teorema. Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

1. Jika a b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka

1) (a + c) (b + c) (mod m)

2) ac bc (mod m)


2. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka

1) (a + c) (b + d) (mod m)

2) ac bd (mod m)


Bukti untuk 1.2 dan 2.1

a b (mod m) berarti:

a = b + km

ab = km

(ab)c = ckm

ac = bc + Km

ac bc (mod m) , terbukti.


Bukti selanjutnya :

a b (mod m) a = b + k1m

c d (mod m) c = d + k2m

(a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m

(a + c) = (b + d) + km dengan (k = k1 + k2)

Jadi, (a + c) = (b + d) (mod m)


Contoh : Misalkan 17 2 (mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka menurut Teorema 2,

17 + 5 = 2 + 5 (mod 3) 22 = 7 (mod 3)

17 . 5 = 2 . 5 (mod 3) 85 = 10 (mod 3)


Teorema.

  1. p ≡ q (mod m), maka pr ≡ pr (mod mr)
  2. p ≡ q (mod m) dan d m, maka p ≡ q (mod d)
  3. ap ≡ aq (mod m), maka p ≡ q (mod m/(a, m))

 

 

Bukti untuk 1)

p ≡ q (mod m), maka sesuai definisi m p – q. kemudian dapat ditentukan bahwa rm r(p – q) atau rm rp – rq. Maka berdasarkan definisi dapat ditentukan bahwa pr ≡ pr (mod mr)

 

Tulisan Terbaru :

 

About these ads
Kategori:perguruan tinggi
  1. 17 Februari 2012 pukul 10:47 PM | #1

    ijin ya dishare , good banget

  2. 14 Juni 2011 pukul 7:16 PM | #2

    Dalam mengerjakan soal math itu jangan hanya terpaku harus pakai cara..
    Karena dibagi 100, kita perhatikan 2 angka terakhir saja
    43^1=…43
    43^2=…49
    43^3=…07
    43^4=…01
    43^5=…43
    43^6=…49
    43^7=…07
    43^8=…01

    Skrg kita krjakan yang 43^43 yang diatas.
    43^43=43^(40+3) py 2 angka terakhir …07

    Kmbali ke awal.
    43^…7
    43^(4k+3)
    Jadi
    43^3
    Py angka dua angka terakhir 07.
    Jd, sisanya ktka dbgi 100 adlh 7

  3. Afdal Adha
    14 Juni 2011 pukul 5:40 PM | #3

    Klo soalnya bgini pke aturan modulo jg?
    sisa pembagian 43^(43^43) oleh 100 adalah…

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 203 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: