Beranda > bilangan, bukti > Tripel pythagoras dan tripel pythagoras primitif

Tripel pythagoras dan tripel pythagoras primitif

  

Tiga angka a, b dan c disebut tripel pythagoras jika dan hanya jika memenuhi a^2+b^2=c^2. Contohnya (3, 4 dan 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), dan sebagainya. Beberapa sifat penting mengenai angka-angka pada tripel pythagoras yaitu :

1.    Jika a, b dan c adalah tripel Pythagoras, maka a, b dan c adalah bilangan genap (ketiga-tiganya genap) atau

2.    Dua angka ganjil dan satu angka genap.

  

Tripel Pythagoras tidak pernah terdiri dari bilangan yang ketiga-tiganya ganjil atau dua genap satu ganjil. Ini dikarenakan sifat pada genap dan ganjil, yaitu :

1.   Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

2.   Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

3.   Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap

4.   Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil

 

 

Tripel Pythagoras primitif

a^2+b^2=c^2. Jika a, b dan c tidak memiliki faktor persekutuan yang sama kecuali 1, maka tripel pythagoras tersebut disebut tripel pythagoras primitive. Contohnya yang paling mudah yaitu (3, 4 dan 5) disebut tripel Pythagoras primitive. Contoh yang bukan merupakan tripel pythagoras primitif adalah (6, 8 dan 10). Itu bukan merupakan tripel pythagoras primitif karena (6, 8 dan 10) merupakan kelipatan dua dari (3, 4 dan 5).

  

  

Beberapa sifat penting :

1.  Bila (a, b dan c) merupakan tripel pythagoras primitive, maka sedikitnya satu dari a, b dan c merupakan bilangan ganjil

2. Bila (a, b dan c) merupakan tripel pythagoras primitive, bila salah satu dari a atau b merupakan bilangan genap, maka c merupakan bilangan ganjil.

Jika (a, b dan c) merupakan tripel Pythagoras primitive, maka berlaku

x=m^2-n^2, \qquad y=2mn, \qquad z=m^2+n^2$

dengan m dan n bilangan asli, m > n, serta m dan n relative merupakan bilangan prima tetapi tidak kedua-duanya.

 

Bukti

Jika p merupakan bilangan prima dan faktor persekutuan dari a, b dan c yang ketiganya berhubungan dalam a^2+b^2=c^2, maka bisa dituliskan sebagai

p membagi (c + a) = 2m^2

p membagi (c - a) = 2n^2

p membagi (c + b) = (m + n)^2

karena m + n merupakan bilangan ganjil  maka p \ne 2

karena p membagi 2m^2  maka p membagi m

karena p membagi 2n^2  maka p membagi n

 

jika kita misalkan p adalah faktor persekutuan dari m dan n. maka kontradiksi dengan kenyataan bahwa m dan n relative bilangan prima. Maka (a, b dan c) adalah tripel pythagoras primitive.

Jika kita anggap (a, b dan c) adalah tripel Pythagoras primitive, maka kita dapat mengasumsikan bahwa b adalah bilangan genap.

a^2+b^2=c^2   maka   b^2=c^2-a^2

b^2=(c - a)(c + a)

( \frac{b}{2})^2=( \frac{(c - a)}{2})( \frac{(c + a)}{2})

dengan \frac{(c-a)}{2}  dan   \frac{(c+a)}{2}  bilangan yang relatif prima.

 

Jika m^2= \frac{(c-a)}{2}  dan n^2= \frac{(c + a)}{2}   untuk m dan n bilangan asli, dengan demikian didapatkan

x=m^2-n^2, \qquad y=2mn, \qquad z=m^2+n^2$

karena a > 0  maka m^2-n^2>0. Diperoleh m > n.

Karena \frac{(c-a)}{2}  dan \frac{(c+a)}{2}  bilangan yang relative prima, maka m^2 dan n^2  adalah relatif prima. Maka didapatkan m dan n adalah relative prima.

Akhirnya m dan n didapatkan keduanya tidak boleh ganjil, sebaliknya z = m^2 + n^2 \equiv 1 + 1 \equiv 0 mod 2. Dan tentu saja jika z merupakan bilangan genap akan berkontradiksi dengan pernyataan

  

“Bila (a, b dan c) merupakan tripel pythagoras primitive, bila salah satu dari a atau b merupakan bilangan genap, maka c merupakan bilangan ganjil.”

  

Beberapa contoh pythagoras primitif adalah sebagai berikut :

3.4.5

15.112.113

5.12.13

16.63.65

7.24.25

17.144.145

8.15.17

19.180.181

9.40.41

20.21.29

11.60.61

20.99.101

12.35.37

21.220.221

13.84.85

23.264.265

 

Tulisan Terbaru :

  

About these ads
Kategori:bilangan, bukti
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 209 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: