Beranda > kalkulus, perguruan tinggi > Fungsi rasional dan asimtot

Fungsi rasional dan asimtot

Apa itu fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk \frac{g(x)}{h(x)}, dimana g(x) dan h(x)  adalah suatu fungsi polynomial. Dan h(x) bukan nol. Domain dari fungsi polynomial ini adalah semua nilai x bilangan real kecuali nilai x yang mengakibatkan h(x)=0.

Contoh fungsi rasional,  f(x)= \frac{2x}{4-x}

Fungsi tersebut adalah fungsi rasional. Dengan penyebut suatu fungsi polynomial yang bisa sama dengan nol. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali suatu nilai x yang menyebabkan penyebut bernilai nol. Domainnya seluruh bilangan real, kecuali 4-x=0, kecuali x=4.

Karena untuk x=4, maka akan terjadi pembagian dengan nol. Ini akan menyalahi aturan. Lalu, gambar fungsinya adalah sebagai berikut.

Perhatikan gambar grafik tersebut. Gambar grafik tersebut untuk x=3,9 maka nilai y yang memenuhi adalah sangat besar. Dan untuk x=3,99999 \dots , nilai dari y juga akan mendekati tak hingga. Untuk nilai x=4,1 juga demikian. Nilainya akan semakin mendekati minus tak hingga jika nilai x=4,000000000 \dots 001.

Inilah yang akan ada hubungan dengan asimtot. Garis x=4, ini disebut sebagai asimtot tegak (vertical asymptote) untuk gambar grafik ini. Dan garis y=-2 yang didekati oleh kurva menuju tak hingga, juga merupakan asimtot, yaitu asimtot datar. Jika mengetahui gambar grafiknya, kita akan sangat mudah untuk menentukan asimtotnya, bagaimana kalau tidak diketahui gambar grafiknya? Apakah kita harus menggambarnya dulu atau bagaimana?

Untuk mencari asimtot tegak, yang harus kita perhatikan adalah penyebut dari fungsi rasional tersebut. Ingat!Mencari asimtot tegak untuk fungsi yang di atas, kita tiggal membuat penyebutnya sama dengan nol. Tetapi ingat, beberapa fungsi rasional memang tidak mempunyai asimtot tegak. Misalnya saja suatu fungsi rasional yang mempunyai penyebut x^2+4, bentuk ini tidak mungkin sama dengan nol. Sehingga suatu fungsi rasional yang berpenyebut seperti ini (atau yang lain, yang tidak bisa sama dengan nol), tidak akan mempunyai asimtot tegak.

Untuk mencari asimtot datar (horizontal asymptote), Perhatikan aturan berikut :

Pertama, Jika pangkat tertinggi pada pada pembilang sama dengan pangkat tertinggi pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di garis y sama dengan koefisien pangkat tertinggi pembilang per koefisien pangkat tertinggi penyebut.

Secara umum, jika fungsinya adalah f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^m+qx^{m-1}+\dots+u},

maka asimtot datarnya ada di y= \frac{a}{p}

dengan m adalah pangkat teetinggi dari kedua polynomial tersebut. (polynomial sebagai pembilang dan polynomial sebagai penyebut)

Misalnya, asimtot datar dari fungsi rasional berikut ini

f(x)= \frac{4x^3+2x-2}{2x^3-2x^2+5x-1}

Asimtot datarnya adalah y= \frac{4}{2}=2

Kedua, jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di y=0

Secara umum, jika fungsinya adalah f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^n+qx^{n-1}+\dots+u}, dengan m<n

maka asimtot datarnya ada di y=0

Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka tidak ada asimtot datar. Ingat!

Asimtot miring (oblique asymptote atau slant asymptote) bisa didapatkan untuk kasus yang terakhir ini.

Misalnya saja fungsi berikut ini :

f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}

Untuk mencari asimtot dari grafik tersebut, maka lakukan pembagian antara pembilang dan penyebut. Akan ada hasil pembagian dan sisa, seperti berikut :

f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}= (2x+1)+ \frac{1}{x-2}

Sekarang bisa kita lihat, ketika x menuju tak hingga, maka \frac{1}{x-2} menuju nol.

Dan nilai f(x) sama dengan 2x+1. Inilah yang bisa menyimpulkan bahwa, grafik kurva pada soal, akan mendekati garis y=2x+1 ketika x menuju tak hingga.

Asimtot miringnya pun didapatkan yaitu y=2x+1,

Ingat, tidak ada asimtot datar.

Asimtot tegak ada di x=2, karena nilai inilah yang menyebabkan penyebut sama dengan nol.

Seperti pada gambar berikut :

Asimtot datar tidak ada ketika pangkat terbesar dari pembilang lebih besar dari pangkat terbesar dari penyebut. Ingat. Sehingga ini menyebabkan, tidak mungkin adanya suatu fungsi yang mempunyai asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan.

Tulisan Terbaru :

About these ads
  1. ocha
    16 Maret 2014 pukul 4:45 PM

    min bantuin dunk , klo X^2+2X/X^2+1
    cara penyelesaiiannya gimana y?

  2. ephy....
    17 Januari 2014 pukul 1:03 AM

    makasih ya….

  3. topik hidayat
    21 Desember 2013 pukul 1:11 PM

    permisi min mau tanya haraf di jawab ya min

    tentukan semua asimtot dari fungsi 3x^3-4x^2+6x / (x-1)^2(x^2-4)

  4. 9 Februari 2011 pukul 9:33 PM

    saya kok susah ya menangkap kalimat komentar kamu… masih gak ngerti maksudnya

  5. EYING
    13 Januari 2011 pukul 2:44 PM

    kira termasuk fungsi atau tidak klu gmbar grafiknya di kedua sisi lain pada grafik f(x) =(2x^3 – 3x – 1)/x-2

    • 14 Januari 2011 pukul 2:00 PM

      apa maksudnya “gmbar grafiknya di kedua sisi lain pada grafik”? f(x) itu fungsi kan! asimtot tegak di x=2

    • EYING
      9 Februari 2011 pukul 11:53 AM

      maksudx… kalau da fungsi lain yang gambarnya di kedua sisi pada grafik diatas… bagaimana…? duh sory e sdh merepotkan….

  1. No trackbacks yet.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 217 pengikut lainnya.

%d blogger menyukai ini: