Beranda > bilangan > Desimal berulang

Desimal berulang

Berbicara mengenai desimal berulang, sangat berkaitan erat dengan beda bilangan irrasional dan bilangan rasional. Kalau bilangan irasional tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} dengan a dan b bilangan bulat, beda lagi dengan bilangan rasional. Bilangan rasional ini selalu bisa dituliskan menjadi bentuk pecahan \frac{a}{b} dengan a dan b bilangan bulat.

 

Selain cara tersebut, cara membedakan yang lain juga bisa menggunakan aturan desimal berulang. Jika suatu bilangan bisa dituliskan ke dalam bentuk decimal berulang, maka bilangan itu adalah bilangan rasional. Sedangkan jika tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk decimal berulang, maka bilangan itu adalah bilangan irasional.

Lalu, bagimana dengan 0,5? Mana yang berulang dari bentuk tersebut? Tentu saja bilangan 0,5=0,500000000000000000, dengan angka 0 yang berulang.

 

Jadi, kita sudah bisa membedakan dengan mudah tentang decimal berulang dan bukan decimal berulang.

 

Awal belajar mungkin agak kaget. Inilah yang terjadi pada kami. Setiap kita membagi bilangan selalu ditemukan bilangan berulang (angka berulang di belakang koma). Misalnya \frac{1}{3}=0,333333333333333 \dots. Angka 3 berulang. \frac{1}{7}=0,1428571428 \dots masih terlihat berulang yaitu setiap 142857. Tetapi, kalkulator 12 angka tidak mencukupi untuk menghitung \frac{1}{17} misalnya.. kalkulator yang dimiliki mungkin hanya kalkulator 12 angka, yang hanya menampilkan hasil seperti berikut :

 

\frac{1}{17}=0,05882352941

 

Mana yang berulang? Apa tidak ada yang berulang? Tidak, kalkulator tidak bisa menampilkan perulangannya. Mungkin jika kalian menghitungnya di kalkulator 100 digit di blog ini baru akan terlihat.

 

Padahal \frac{1}{17}=0, 05882352941176470588235294117647 \dots

 

Berulang setiap setelah 16 angka di belakang koma.

 

Apa setiap pembagian dengan bilangan prima akan ditemukan bilangan berulang yang panjang? Misalnya saja

 

\frac{1}{17}=0,0588235294117647 \dots

\frac{1}{19}=0,052631578947368421 \dots

\frac{1}{23}=0434782608695652173913 \dots

 

Tetapi untuk bilangan prima 37, nilai dari 1/27 mempunyai angka berulang yang pendek.

 

\frac{1}{37}=0,027027 \dots

 

Jadi, tidak semua bilangan prima (1/p) mempunyai decimal berulang yang panjang.

 

Berikut adalah daftar beberapa bilangan decimal berulang

 

 

n \qquad \qquad \frac{1}{n}

 

1 \qquad \qquad 1

2 \qquad \qquad 0,5

3 \qquad \qquad 0,33333

4 \qquad \qquad 0,25

5 \qquad \qquad 0,2

6 \qquad \qquad 0,16666666

7 \qquad \qquad 0,142857142857

8 \qquad \qquad 0,125

9 \qquad \qquad 0,11111111111111

10 \qquad \qquad 0,1

11 \qquad \qquad 0,09090909

12 \qquad \qquad 0,083333333333

13 \qquad \qquad 0,076923

14 \qquad \qquad 0,0714285714285

15 \qquad \qquad 0,066666666666

16 \qquad \qquad 0,0625

17 \qquad \qquad 0,0588235294117647

18 \qquad \qquad 0,05555555

19 \qquad \qquad 0,052631578947368421

21 \qquad \qquad 0,047619047619

22 \qquad \qquad 0,0454545

23 \qquad \qquad 0,0434782608695652173913

24 \qquad \qquad 0,0416666666

26 \qquad \qquad 0,0384615384615

27 \qquad \qquad 0,037037037

28 \qquad \qquad 0,03571428571428

29 \qquad \qquad 0,0344827586206896551724137931

31 \qquad \qquad 0,032258064516129

37 \qquad \qquad 0,027

41 \qquad \qquad 0,02439

43 \qquad \qquad 0,023255813953488372093

47 \qquad \qquad 0,0212765957446808510638297872340425531914893617

53 \qquad \qquad 0,0188679245283

59 \qquad \qquad 0,0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661

61 \qquad \qquad 0,016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459

67 \qquad \qquad 0,014925373134328358208955223880597

71 \qquad \qquad 0,01408450704225352112676056338028169

73 \qquad \qquad 0,01369863

79 \qquad \qquad 0,0126582278481

83 \qquad \qquad 0,01204819277108433734939759036144578313253

89 \qquad \qquad 0,01123595505617977528089887640449438202247191

97 \qquad \qquad 0,01030927835051546391752577319587628865979381443298

 

 

Nilai seperti ini juga disebut sebagai “reciproc”. Diantara 1 sampai 100, yang mempunyai nilai dengan angka berulang yang panjang adalah untuk n=61. Unik di sini yaitu untuk 27 dan 37. Mereka saling bertukar. Kawan reciproc.

 

\frac{1}{27}=0,037037037037

\frac{1}{37}=0,027027027027

 

Perhatikan bahwa 27 \times 37=999

 

Dibedakan juga untuk bilangan prima. Karena kebanyakan bilangan prima mempunyai angka berulang yang panjang. Maka dibuat suatu hal berbeda untuknya.

 

\frac{1}{31}=0,032258064516129

 

Adalah bilangan berulang ( \frac{1}{p} dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan \frac{p-1}{2}. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

 

\frac{1}{53}=0,0188679245283

 

Adalah bilangan berulang ( \frac{1}{p} dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan \frac{p-1}{4}. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

 

\frac{1}{41}=0,02439

 

Adalah bilangan berulang ( \frac{1}{p} dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan \frac{p-1}{8}. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

 

Semoga bermanfaat.

 

 

About these ads
Kategori:bilangan
  1. wibowo
    8 Juni 2011 pukul 11:25 AM

    Pak/Bu/Mas/ Mbak minta tolong di cek di id.wikipedia.org tentang bilangan Komplek, Bil Riil, Bil Rasional dan IRRasional…….
    kok beda denagn artikel ini ? mana yang benar?
    kalo saya sependapat dengan anda

    • 8 Juni 2011 pukul 12:45 PM

      di sana tertulis
      “Bilangan rasional
      direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir,
      sedangkan bilangan irasional memiliki
      representasi desimal tidak berakhir namun
      berulang.”

      Coba bandingkan dg pecahan berlanjut..
      Di sini asimtot.wordpress.com/2011/04/26/pecahan-berlanjut-continued-fraction/

      saya juga bingung dg kalimatnya wikipdia itu. Mungkin trjemahan di wikipedia itu blm distandartkan..

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 208 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: