Beranda > bilangan irasional > Menghitung akar tanpa kalkulator (menggunakan rumus) [pendekatan]

Menghitung akar tanpa kalkulator (menggunakan rumus) [pendekatan]

  

Jika kemarin kita sudah belajar menghitung akar pangkat dua (akar kuadrat) dengan menggunakan cara yang diajarkan di SD (mungkin cara yang dari SD ini cukup rumit untuk dilakukan), sekarang kita akan belajar menghitung nilai dari akar kuadrat dengan menggunakan rumus. Sehingga akan lebih mudah untuk dilakukan. (tergantung pembaca mau menggunakan yang lebih mudah yang mana).

Iseng-iseng baca bukunya David Darling yang judulnya The Universal Book of Mathematics. Di dalamnya ada subjudul yaitu “Bakhshali manuscript”



Entah itu apa artinya, tetapi ada rumus yang menarik untuk saya pelajari. Akhirnya saya pelajari rumus tersebut dan berikut laporannya :

Hasil dari perhitungan akar kuadrat dengan menggunakan rumus ini sangat mendekati dengan hasil sebenarnya.

Rumusnya adalah sebagai berikut :


\sqrt{N}= \sqrt{A^2+b} \approx A+ \frac{b}{2A}- \frac{( \frac{b}{2A})^2}{2(A+ \frac{b}{2A})}


Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah

A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N

Dan b adalah b=N-A^2


Misalnya untuk menghitung \sqrt{13}, maka kita pilih A=3 sehingga A^2=9 sangat mendekati 13. Sehingga, b=4, maka


\sqrt{13}= \sqrt{3^2+4}=3,606060606...


Nilai yang sebenarnya adalah \sqrt{13}=3,605551275...


Berikut ini adalah beberapa nilai untuk \sqrt{N} sampai dengan N=99


n \sqrt{n} Menggunakan Rumus
1 1 1
2 1,414213562 1,416666667
3 1,732050808 1,75
4 2 2
5 2,236067977 2,236111111
6 2,449489743 2,45
7 2,645751311 2,647727273
8 2,828427125 2,833333333
9 3 3
10 3,16227766 3,162280702
11 3,31662479 3,316666667
12 3,464101615 3,464285714
13 3,605551275 3,606060606
14 3,741657387 3,742753623
15 3,872983346 3,875
16 4 4
17 4,123105626 4,123106061
18 4,242640687 4,242647059
19 4,358898944 4,358928571
20 4,472135955 4,472222222
21 4,582575695 4,58277027
22 4,69041576 4,690789474
23 4,795831523 4,796474359
24 4,898979486 4,9
25 5 5
26 5,099019514 5,099019608
27 5,196152423 5,196153846
28 5,291502622 5,291509434
29 5,385164807 5,385185185
30 5,477225575 5,477272727
31 5,567764363 5,567857143
32 5,656854249 5,657017544
33 5,744562647 5,744827586
34 5,830951895 5,831355932
35 5,916079783 5,916666667
36 6 6
37 6,08276253 6,082762557
38 6,164414003 6,164414414
39 6,244997998 6,245
40 6,32455532 6,324561404
41 6,403124237 6,403138528
42 6,480740698 6,480769231
43 6,557438524 6,557489451
44 6,633249581 6,633333333
45 6,708203932 6,708333333
46 6,782329983 6,782520325
47 6,8556546 6,855923695
48 6,92820323 6,928571429
49 7 7
50 7,071067812 7,071067821
51 7,141428429 7,141428571
52 7,211102551 7,211103253
53 7,280109889 7,280112045
54 7,348469228 7,348474341
55 7,416198487 7,416208791
56 7,483314774 7,483333333
57 7,549834435 7,549865229
58 7,615773106 7,615821095
59 7,681145748 7,681216931
60 7,745966692 7,746068152
61 7,810249676 7,81038961
62 7,874007874 7,874195624
63 7,937253933 7,9375
64 8 8
65 8,062257748 8,062257752
66 8,124038405 8,124038462
67 8,185352772 8,185353053
68 8,246211251 8,246212121
69 8,306623863 8,30662594
70 8,366600265 8,366604478
71 8,426149773 8,426157407
72 8,485281374 8,485294118
73 8,544003745 8,544023723
74 8,602325267 8,602355072
75 8,660254038 8,660296763
76 8,717797887 8,717857143
77 8,774964387 8,775044326
78 8,831760866 8,831866197
79 8,888194417 8,88833042
80 8,94427191 8,944444444
81 9 9
82 9,055385138 9,05538514
83 9,110433579 9,110433604
84 9,16515139 9,165151515
85 9,219544457 9,219544846
86 9,273618495 9,273619428
87 9,327379053 9,327380952
88 9,38083152 9,380834977
89 9,433981132 9,433986928
90 9,486832981 9,486842105
91 9,539392014 9,539405685
92 9,591663047 9,591682723
93 9,643650761 9,643678161
94 9,695359715 9,695396825
95 9,746794345 9,746843434
96 9,797958971 9,798022599
97 9,848857802 9,848938826
98 9,899494937 9,899596524
99 9,949874371 9,95


Selisih terbesarnya ada pada \sqrt{3}, yaitu mempunyai selisih 0,017949192

Selisih terbesar kedua ada pada \sqrt{8}, yaitu mempunyai selisih 0,004906209


Jika diperhatikan, dengan menggunakan rumus tersebut. Nilai dari \sqrt{82} mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari \sqrt{99}. Begitu juga untuk \sqrt{65} dengan \sqrt{80}. Begitu juga \sqrt{50} dibandingkan dengan \sqrt{63}.


Jika yang kita hitung adalah yang kurang dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna, maka tingkat ketelitiannya kurang bagus. Berbeda dengan jika yang kita hitung adalah yang lebih besar dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna. Tingkat ketelitiannya sangatlah bagus.


Untuk menyiasati hal ini, kami mencoba untuk mengambil kasus jika nilai A^2 melebihi dari nilai N tetapi masih sangat dekat dengan N, tentu nilai b akan negatif.

Beberapa tabelnya untuk N mulai dari 81 sampai 100 adalah sebagai berikut :


N \sqrt{N} Rumus untuk b negatif
81 9 9,000138122
82 9,055385138 9,055494505
83 9,110433579 9,110519126
84 9,16515139 9,165217391
85 9,219544457 9,219594595
86 9,273618495 9,273655914
87 9,327379053 9,327406417
88 9,38083152 9,380851064
89 9,433981132 9,433994709
90 9,486832981 9,486842105
91 9,539392014 9,539397906
92 9,591663047 9,591666667
93 9,643650761 9,64365285
94 9,695359715 9,695360825
95 9,746794345 9,746794872
96 9,797958971 9,797959184
97 9,848857802 9,848857868
98 9,899494937 9,899494949
99 9,949874371 9,949874372
100 10 10,00010284


Dapat kita lihat bahwa Nilai dari \sqrt{99} mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari \sqrt{82}

Dan nilai dari suatu kuadrat sempurna itu sendiri jadi tidak sama dengan nilai yang sebenarnya.


Dapat disimpulkan di sini! Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.

Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai A^2 sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati.

Begitu juga sebaliknya.


Intinya! Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai A^2 sangat dekat dengan N


Semoga bermanfaat.

Tulisan Terbaru :

  

About these ads
  1. sari adriyani
    15 September 2013 pukul 11:38 AM

    kak aku mau tanya kalau hasil akar 57,24 berapa?
    tapi hasil nya yang gk berkoma tapi berakar berapa kak? di balas yah kak ini ada pr susah

  2. Carolin
    30 Agustus 2013 pukul 4:03 PM

    kak, aku mau nanya, kalau akar b dalam akar cara ngerjainnya gimana? √(√a)

    • Carolin
      30 Agustus 2013 pukul 4:08 PM

      Carolin :
      kak, aku mau nanya, kalau akar b dalam akar cara ngerjainnya gimana? √(√a)

      salah,, maksudnya akar a dalam akar…

  3. gita
    22 Agustus 2013 pukul 7:30 PM

    kak aku mau nannya akar kls 6sd caranya gmana ya lgsyng blds ya

  4. 28 September 2012 pukul 4:50 PM

    Menggunakan rumus:

    akar pangkat n dari C = A + ( ( ( C – (A pangkat n) ) : n x (A pangkat n-1) )

    dengan batas C >= 2 pangkat n.

    Keterangan :

    A adalah nilai akar yang mendekati C dari bawah
    n adalah bilangan bulat positif
    C adalah nilai akar yang dicari

    Contoh :

    1. Akar dari 19602 = Akar dari (140 kuadrat + 2) =

    140 + ( (19602 – 140 kuadrat) / (2 x (140 pangkat 1) ) ) = 140 + 2/280 = 140 + 1/140

    2. Karena akar 19602 = 99 x akar dari 2, maka

    akar dari 2 = ( ( 140 + ( 1/140) ) / 99 )= 140/99 + 1/13860

  5. 22 September 2012 pukul 6:45 PM

    Untuk pendekatan nilai akar 2 (sampai 8 desimal dibelakang koma), nilainya adalah: (140/99)+(1/13860).

    Untuk pendekatan nilai akar 3 (sampai 9 desimal di belakang koma), nilainya adalah:
    (265/153)+(1/40545)

    Untuk pendekatan nilai akar 5 (sampai 9 desimal di belakang koma), nilainya adalah:
    (682/305)+(1/416020)

    • 22 September 2012 pukul 9:41 PM

      pendekatan tersebut menggunakan rumus apa?

  6. 26 Juli 2012 pukul 5:54 AM

    Reblogged this on SOUL-MATE-MATIKA.

  7. 9 Juni 2012 pukul 10:11 AM

    dma datang anam kk???

  8. ismelprima
    14 Maret 2012 pukul 2:37 PM

    mw tanya, dapat rumus pendekatan akar kuadrat nya dari mana? please… saya sangat tertarik dengan pembuktian rumus itu, atau adakah link nya?

    • 22 September 2012 pukul 9:42 PM

      di daftar rujukan ada .. coba lihat.. ini dari buku yang ada di daftar rujukan

  9. Yusuf Ilham Ramadhan
    15 Desember 2011 pukul 7:08 PM

    terima kasih pak.karena bapak saya bisa mengerti akar-akaran.maklum buat SD saya pak

  10. Teuku Makmur Tsani
    3 Desember 2011 pukul 12:43 PM

    cara mencari hasil koma di belakang 3 itu gmn??
    kan akar 13=3,606060606…..
    nilai koma di belakang 3, cara nyarinya gmn???

    • 5 Desember 2011 pukul 6:08 PM

      itu dihitung secara manual.. . memang cara ini lemah.. .

  11. rap
    3 Oktober 2011 pukul 6:54 PM

    hehe, maaf saya salah.. maksudnya menghitung nilai akar pangkat 3 tanpa kalkulator bang.. Bagaimanakah? :D

  12. rap
    3 Oktober 2011 pukul 11:17 AM

    assalamu’alaikum wr wb..
    ini blog nya bang sihab smm yah? Hem, sering mampir tp baru ngeh krna komen di bwh tuh. Hehe, terima kasih sebelumnya bang :)
    Mau sekalian tanya bang, klo menghitung nilai rasional dr bilangan akar pangkat 3 bagaimanakah? :D
    Makasih lg sblmnya :)

    • 3 Oktober 2011 pukul 12:30 PM

      klo menghitung nilai
      rasional dr bilangan akar pangkat 3

      maksudnya nilai rasional? Akar 3 kan bilangan irasional. . Ya tdk bsa dijadikan bil.rasional. .

      Mgkn ya nilai yang mendekati. .

  13. rangga
    28 September 2011 pukul 9:59 AM

    maksudnya rumus a+b/2a – (b/2a)^2/2(a+b/2a) berasal dari turunan mana

  14. rangga
    17 September 2011 pukul 8:38 PM

    ass..
    saya mau tanya dr rumus akar a^2+b kok bs dpt rumus a+b/2a – (b/2a)^2/2(a+b/2a)

    tolong jelasin turunannya dr mana rumus itu

  15. 29 Juli 2011 pukul 8:29 AM

    ass..
    mau nanya nih, kak!, untuk nyari nilai akar b nya gimana?

    • 29 Juli 2011 pukul 10:54 AM

      akar b yg mana maksudnya? Apkh maksudnya nilai b..
      Pertama, cari dulu nilai dr A kuadrat yg mendekati N. Kemudian tentu saja b nya mengikuti.
      Jika A kuadrat kurang dr N, maka b=N-A^2
      Jika A kuadrat lbh dr N, maka b=A^2 -N
      Carilah nilai A^2 yg sangat dekat dengan N.

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 208 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: