Beranda > perguruan tinggi > Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya

Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya

  

Bilangan kompleks dituliskan sebagai a+bi

Jika z=a+bi merupakan suatu bilangan kompleks, maka a adalah bagian nyata dan b adalah bagian imajiner. Ingat a dan b di sini adalah bilangan real.
Jadi bisa dituliskan

R(z)=a dan I(z)=b


Jika R(z)=0 dan I(z) \ne 0 maka disebut bilangan kompleks murni

Jika R(z)=0 dan I(z)=1 atau dituliskan sebagai z=i disebut satuan khayal

Kesamaan bilangan kompleks

Jika z=a+bi, maka z_1=z_2 yaitu jika

a_1=a_2 dan b_1=b_2


Jumlah pada bilangan kompleks yaitu

z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i


Perkaliannya

z_1 \times z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i


i^2=-1


Di dalam bilangan kompleks juga dikenal bilangan nol, yaitu merupakan identitas penjumlahan, yaitu 0+0i

Dan identitas perkaliannya adalah 1+0i


Lawan penjumlahannya, -z

Jika z=a+bi maka -z=-a-bi

Kebalikan dari z, yaitu \dfrac{1}{z}

z^{-1}= \dfrac{x}{x^2+y^2}- \dfrac{y}{x^2+y^2}i


zz^{-1}=1


Sekawan (Conjugation)

Jika z=a+bi adalah bilangan kompleks, maka sekawannya (conjugation) dari z adalah \bar z =a-bi


Sifat-sifat bilangan kompleks


Komutatif

z_1+z_2=z_2+z_1

z_1z_2=z_2z_1


Asosiatif

z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3

z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3


Distributif

z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3


Distributivitas kesekawanan

\overline{z_1+z_2}= \bar z_1+ \bar z_2

\overline{z_1-z_2}= \bar z_1- \bar z_2

\overline{z_1z_2}= \bar z_1 \bar z_2

\overline{z_1/z_2}= \bar z_1/ \bar z_2


\overline{ \overline{z}}=z


z \bar z=[R(z)]^2+[I(z)]^2


Beberapa soal :

Tuliskan dalam bentuk A+Bi untuk \dfrac{1+i}{1-i}

Jawaban :

\dfrac{1+i}{1-i}= \dfrac{1+i}{1-i} \dfrac{1+i}{1+i}= \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}= \dfrac{2i}{2}=i

Maka \dfrac{1+i}{1-i}=0+i


Pangkat bulat tak negatif pada bilangan kompleks didefinisikan seperti pada bilangan nyata, yaitu

z^1=z

z^2=zz

z^3=z^2z

\dots

z^{n+1}=z^nz

Dan bila z \ne 0, maka z^0=1

   

Tulisan Terbaru :

  

About these ads
Kategori:perguruan tinggi
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 203 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: