Beranda > bilangan, bukti, teorema > Bukti Teorema-teorema Bilangan

Bukti Teorema-teorema Bilangan

Bukti teorema-teorema pada bilangan, misalnya bukti bahwa a dikali 0 sama dengan nol. Bukti perkalian dengan nol itu sama dengan nol. Dan bukti-bukti lain untuk teorema-teorema pada bilangan.

 

Teorema. \forall a \in R, berlaku a.0=0

Bukti.

Menurut sifat identitas penjumlahan berlaku 1=1+0. Akibatnya,  a.1=a.(1+0).

Jadi,

a=a.1+a.0   [sifat distributif]

(-a)+a=(-a)+(a+a.0)

0=0+a.0

0=a.0

 

Teorema. Bilangan 0 tidak memiliki invers perkalian

Bukti.

Dari teorema di atas berlaku 0a=0 untuk setiap a. padahal bila 0 mempunyai invers berarti 0a=1 untuk suatu a, akibatnya 0=1. Hal ini tidak mungkin terjadi dalam bilangan real, sehingga haruslah pernyataan 0 tidak mempunyai invers merupakan pernyataan yang benar.

 

Teorema. Jika ab=ac dan a \ne 0, maka b = c

Bukti.

Diketahui ab = ac  dan a \ne 0, artinya a mempunyai invers. Sehingga dapat dituliskan,

a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)

(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c

1b = 1c

b = c

 

Teorema. \forall a dan b \in R, berlaku  (-a)b = -(ab)

Bukti.

Kita tunjukkan bahwa (-a)b adalah negative dari (ab), artinya

(-a)b + ab = ab + (-a)b = 0

Menurut hukum distributif,

(-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0

Jadi, (-a)b = -(ab)

 

Teorema. \forall a dan b \in R, berlaku  -(a + b) = (-a) + (-b)

Bukti.

Kita buktikan bahwa [(-a) + (-b)] + (a + b) = 0 seperti berikut,

[(-a) + (-b)] + (a + b) = [(-a) + (-b)] + (a + b)

[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + (-b) + b + a

[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + 0 + a

[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + a

[(-a) + (-b)] + (a + b) = 0

 

Teorema. a < b jika dan hanya jika b - a > 0

Bukti.

Jika a < b, maka menurut sifat pada bilangan berlaku a - a < b - a. oleh karena itu didapatkan 0 < b - a. yang tidak lain yaitu b - a > 0. Sebaliknya, jika b - a > 0, maka (b - a) + a > 0 + a. dan diperoleh b > a

 

Teorema. a < b dan c > 0, maka ac < bc

Bukti.

Jika a < b, maka b - a > 0. Akibatnya, menurut sifat pada bilangan didapatkan (b - a)c > 0.c. sama dengan (b - a)c > 0. Sehingga bc - ac > 0. Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh ac < bc

 

Teorema. Jika a < 0, maka -a > 0

Bukti.

a < 0 maka a - a < 0 - a. diperoleh 0 < -a. Sama dengan -a > 0

 

Teorema. Jika a > 0, maka -a < 0

Bukti.

a > 0 maka a - a > 0 - a. diperoleh 0 > -a. Sama dengan -a < 0

 

Teorema. a < b dan c < 0, maka ac > bc

Bukti.

Jika a < b, maka b - a > 0. Padahal c < 0. Maka c - c < 0 - c. maka -c > 0. Akibatnya didapatkan -bc + ac > 0. Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh ac > bc

 

Tulisan Terbaru :

  1. 30 Mei 2011 pukul 7:52 PM

    ab – ab = a x 0
    0 = 0

    pada baris tersebut… kok tiba2 a x 0 = 0
    kan itu yang mau dibuktikan…

  2. moch.yani
    30 Mei 2011 pukul 2:12 PM

    bukti a.o=0
    jika a dan b bilangan riil
    (axb)-(axb)= ax(b-b)(invers sifat distr)
    ab – ab = a x o
    0 =0
    boleh?

    • aimprof08
      29 Agustus 2012 pukul 7:03 AM

      drimana dtg nya ‘b’? kn di informasi hanya diketahui ‘a’ saja

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: