Beranda > bilangan > Jumlah bilangan ganjil yang berurutan

Jumlah bilangan ganjil yang berurutan

 

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

 

Dan seterusnya. 

 

Dapat ditebak bahwa jumlah dari bilangan ganjil berurutan dari yang pertama sama dengan banyaknya suku dikuadratkan. Dapat dilihat pada contoh di atas, jika ada dua suku, yaitu 1+3=4=2^2. Jika ada 5 suku, yaitu 1+3+5+7+9=25=5^2

 

Mengapa terjadi hal seperti ini?

 

Secara umum, jumlah bilangan ganjil yang pertama dapat dituliskan sebagai

 

1+3+5+7+9+ \dots +(2n-1)

 

Dengan n adalah banyaknya suku.

 

Ternyata bentuk (2n-1) dapat dijadikan n^2-(n-1)^2. Perhatikan untuk n^2-(n-1)^2 jika dijabarkan. n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=n^2-n^2+2n-1=2n-1.

Diperoleh bentuk 2n-1. Yang ternyata sama dengan rumus untuk bilangan ganjil ke n.

 

Deret di atas merupakan deret aritmetika yang jumlah suku ke n dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah dari jumlah suku pertama dan terakhir kemudian dikalikan banyaknya suku. Dengan demikian diperoleh

 

Jumlah suku ke n= \frac{1}{2}(1+(2n-1))(n)

Jumlah suku ke n= \frac{1}{2}2n(n)

Jumlah suku ke n=n^2

 

Sehingga dapat disimpulkan unutk jumlah bilangan ganjil yang berurutan dan sebanyak n bilangan adalah sama dengan n^2. Tentunya ini sudah ditunjukkan melalui penjabaran tersebut.

Bagaimana jika jumlah bilangan tersebut tidak dimulai dari yang terkecil? Jumlah bilangan ganjil yang tidak dimulai dari 1.

 

7+9+11+13+15+17+19=?

 

Tentunya jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai 19 akan sama dengan ( \frac{19+1}{2})^2. Ini diperoleh dari suku terakhirnya.

yaitu 2n-1=19, sehingga banyaknya suku jika dihitung dari 1 adalah 2n=19+1, dan n=10. Jumlah deret tersebut jika dimulai dari 1 adalah 100. Tetapi permasalahannya, deret yang diminta berawal dari 7.

 

Dengan demikian yang harus kita lakukan adalah mengurangkannya dengan jumlah beberapa suku awal sebelum deret yang ditanyakan. Bilangan ganjil sebelum 7 adalah 5. Kita hitung jumlah deret dari 1 sampai 5. yaitu 1+3+5=9.

 

Dengan demikian jumlah deret seperti di atas adalah 10^2-3^2=100-9=91

 

7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91

 

Secara umum, jumlah deret bilangan ganjil yang berurutan tetapi tidak dimulai dari angka 1 dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut

Pertama, tulis suku terakhir dalam bentuk rumus bilangan ganjil. Dan kemudian cari nilai n. Misalkan pada contoh di atas, suku terakhirnya adalah 19. Maka 19=2n-1. Sehingga, n diperoleh yaitu 10.

Kedua, mencari jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai pada bilangan ganjil sebelum suku pertama pada deret yang ditanyakan. kurangi suku pertama dengan 1 kemudian kalikan dengan setengah. Misalnya suku pertama kita anggap a. maka langkah kedua diperoleh \frac{a-1}{2}. Pada contoh tersebut adalah \frac{7-1}{2}= \frac{6}{2}=3

 

Jumlah deret bilangan ganjil yang dimaksud akan sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu 10^2-3^2=100-9=91.

 

Contoh : berapakah 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75

 

Solusi :

 

Langkah pertama, 75=2n-1. Diperoleh n=38

Langkah kedua, \frac{59-1}{2}=29

Jumlah deret yang diminta dari deret di atas adalah sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu sama dengan 38^2-29^2.

 

Soal :

 

Carilah jumlah deret yang terdiri dari bilangan ganjil berurutan berikut

 

101 + 103 + 104 + 105 + 107 + … + 299

99 + 101 + 103 + … + 999

 

 

Kategori:bilangan
  1. Lalas
    22 Maret 2016 pukul 8:49 PM

    Boleh kah saya tanya
    A+B+C=30
    A,B,C Adalah bilngan ganjil
    (1,3,5,7,9,11,13,15)

    Bgaimna cara mnghitungnya

  2. poe
    9 Juni 2010 pukul 11:06 AM

    maaf, tuk contoh yg k dua, apkh tdk keliru ya?

    • 9 Juni 2010 pukul 12:02 PM

      kayaknya sudah benar.. tadi saya hitung lagi.. hanya saja tadi belum saya hitung hasilnya.. sekarang sudah saya ganti.. thanks ya.

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: