Beranda > bilangan > Selalu membentuk bilangan kuadrat (barisan aritmetika)

Selalu membentuk bilangan kuadrat (barisan aritmetika)

 

Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya selalu membentuk bilangan kuadrat.

Misalnya saja barisan aritmatikanya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9, \dots. beda dari barisan tersebut adalah 1. Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya. Misalnya kita ambil 4 bilangan di awal barisan aritmatika tersebut. yaitu 1, 2, 3, 4. Jika kita kalikan hasilnya adalah 24. Kemudian ditambahkan dengan bedanya yang dipangkatkan 4. Secara matematis dapat ditulis

 

(1 \times 2 \times 3 \times 4) + 1^4= 24 + 1 = 25

 

Bilangan 25 adalah bilangan kuadrat sempurna, karena 25 adalah sama dengan 5^2

 

Dengan bilangan yang lain. Misalnya kita ambil 4 bilangan yang ada di bagian belakang barisan tersebut, yaitu  6, 7, 8 dan 9.

 

(6 \times 7 \times 8 \times 9) + 1^4 = 3024 + 1 = 3025

 

3025 merupakan bilangan kuadrat sempurna karena 3025 sama dengan 55^2

 

Contoh lain untuk barisan aritmetika yang lebih rumit. Barisan aritmetikanya adalah 2,6,10,14, \dots. beda barisannya adalah 4.

 

(2 \times 6 \times 10 \times 14) + 4^2 = 1680 + 256 = 1936

 

1936 merupakan bilangan kuadrat sempurna karena 1936 sama dengan 44^2

 

 

Mengapa terjadi seperti ini?

 

Mengapa bisa terjadi bahwa hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya selalu membentuk bilangan kuadrat. Apa ini berlaku untuk semuanya. Haruslah kita menunjukkan bahwa ini berlaku untuk semuanya. Jadi kita harus menggunakan bilangan-bilangan secara umum.

Misalnya beda dari barisan aritmetika adalah b. kita dapat menuliskan barisan aritmetika tersebut menjadi

 

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), \dots

 

kemudian kita lakukan yang diminta. Yaitu Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya

 

(a \times (a + b) \times (a + 2b) \times (a + 3b)) + b^4

= (a^2 + ab)(a^2 + 5ab + 6b^2) + b^4

= (a^4 + 5a^3b + 6a^2b^2 + a^3b + 5a^2b^2 + 6b^3a) + b^4

= a^4 + 6a^3b + 11a^2b^2 + 6b^3a + b^4

= a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 6a^3b + 9a^2b^2 + 6b^3a

= (a^2 + b^2)^2 + 6ab(a^2 + b^2) + 9a^2b^2

= (a^2 + b^2)^2 + 2.(3ab)(a^2 + b^2) + (3ab)^2

= [(a^2 + b^2) + 3ab]^2

 

Bentuk terakhir merupakan bilangan kuadrat.

 

Dapat dikatakan bahwa Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya adalah sama dengan = [(a^2 + b^2) + 3ab]^2

jika a adalah bilangan awalnya dan b adalah bedanya.

 

 

Perhatikan contoh pertama

 

barisan aritmatikanya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9, \dots . beda dari barisan tersebut adalah 1. Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya. Misalnya kita ambil 4 bilangan di awal barisan aritmatika tersebut. yaitu 1, 2, 3, 4. Jika kita kalikan hasilnya adalah 24. Kemudian ditambahkan dengan bedanya yang dipangkatkan 4. Secara matematis dapat ditulis

 

(1 \times 2 \times 3 \times 4) + 1^4= 24 + 1 = 25

 

1, 2, 3, 4 dan bedanya 1. Artinya a = 1 dan b = 1. Maka. Dengan menggunakan yang sudah kita dapatkan yaitu

 

[(a^2 + b^2) + 3ab]^2 = [(1^2 + 1^2) + 3.1.1]^2

= [2 + 3]^2

= 25

 

 

Semoga bermanfaat.

 

 

Kategori:bilangan
  1. Amri
    21 Februari 2012 pukul 9:42 PM

    I Like

  2. sri wulandari
    10 Desember 2010 pukul 9:11 AM

    makasih artikelnya.
    ternyata matematika asyik juga ya
    ditunggu tulisan yg lainnya.
    i like it

    • 10 Desember 2010 pukul 3:24 PM

      Heheheheheh… Coba lihat tulisan-tulisan yang lain juga…. Bulan ini agak sibuk, agak sedikit postingannya… terus berkunjung ya…

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: