Beranda > Tak Berkategori > Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n-1) + n + (n-1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat

Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n-1) + n + (n-1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat

Untuk yang sudah mempelajari deret aritmatika. Hal seperti ini bukan merupakan hal yang begitu istimewa. Yang akan kita bahas adalah Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n-1) + n + (n-1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat.

Misalnya saja kita ambil n = 5. Maka diperoleh

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25

Sama dengan 5 kuadrat

Misalnya n = 7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 49

Hasil yang diperoleh sama dengan 7 kuadrat

Mengapa terjadi demikian?

Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n – 1) + n + (n – 1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat

Bentuk 1 + 2 + … + (n – 1) + n + (n – 1) + … + 2 + 1 dapat kita pecah menjadi

1 + 2 + … + (n – 1) = a

n

(n – 1) + … + 2 + 1 = a

Jumlahnya akan sama dengan 2a + n. untuk deret 1 + 2 + … + (n – 1) kita dapat menggunakan rumus deret aritmatika untuk menghitungnya.

Sn = (n – 1)(n – 1 + 1) / 2

Sn = (n – 1)n / 2

Didapatkan 1 + 2 + … + (n – 1) = (n – 1)n / 2

a = (n – 1)n / 2 ,  maka  2a = (n – 1)n = n2 – n

2a + n = n2 – n + n = n2

sehingga untuk jumlah dari 1 + 2 + … + (n – 1) + n + (n – 1) + … + 2 + 1 = n2 – n + n = n2

Untuk lebih mudahnya, kita dapat melakukan hal berikut

1 + 2 + … + (n – 1) + n + (n – 1) + … + 2 + 1

Kita pisahkan menjadi

1 + 2 + … + (n – 1) + n

(n – 1) + … + 2 + 1

Perhatikan bahwa

1 + (n – 1) = n

2 + (n – 2) = n

3 + (n – 3) = n

.

.

.

(n – 2) + 2 = n

(n – 1) + 1 = n

Sehingga jumlah keseluruhannya adalah n + n + n + … + n + n  sebanyak n. sama dengan n2

.

Misalnya saja carilah jumlah dari

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Dengan mudah kita bisa menyelesaikannya yaitu sama dengan 152. Sama dengan 225

Iklan
Kategori:Tak Berkategori
  1. hana
    13 Desember 2010 pukul 8:52 AM

    aku kelas 7 .
    aku kagum sama matematika .
    tapi aku juga masih bingung juga sama matematika

    • 13 Desember 2010 pukul 6:27 PM

      belajar terus ya biar gak bingung… tanya2 di sini boleh kok… apa aja

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: