Beranda > statistika > Distribusi Binomial

Distribusi Binomial


Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p. Maka distribusi probabilitas variabel acak binomial X, jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh

 

b(x;n,p)= \binom{n}{x} p^xq^{n-x}, \quad x=0,1,2,3, \dots ,n

Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif P(X \ge r)  dinyatakan sebagai:

 

P(X \ge r)=b(r;n,p)+b((r+1);n,p))+ \dots +b(n;n,p)= \sum \limits_{x=r}^n b(r;n,p)

 

Suatu syarat terpenting dalam suatu distribusi probabilitas adalah nilai F(x)=1, untuk suatu x yang terbesar. Ingat kembali bahwa salah satu sifat F(x), yaitu F(x)=0 untuk x menuju - \infty dan F(x)=1 untuk x menuju + \infty.

 

Dengan kata lain, pada distribusi binomial harus memenuhi F(x)=1, untuk x=n.

 

\sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)=1

 

 

Bukti :

 

Menurut definisi distribusi binomial, b(x;n,p)= \binom{n}{x} p^xq^{n-x}, \quad x=0,1,2,3, \dots ,n

Sehingga,

 

\sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)= \binom{n}{0}p^0q^{n-0}+ \binom{n}{1}p^1q^{n-1}+ \dots + \binom{n}{n}p^nq^{n-n}

 

Bentuk terakhir adalah sama dengan bentuk binomial newton, yang sama dengan (p+q)^n.

 

Peluang sukses ditambah peluang gagal suatu kejadian sama dengan 1. Ingat, distribusi yang kita bicarakan hanyalah mempunyai peluang gagal atau sukses. Jadi, nilai p+q=1 . Selanjutnya kita substitusikan nilai ini ke dalam bentuk yang terkhir, yaitu (p+q)^n. Sehingga diperoleh (1)^n=1

 

Ini mengimplikasikan bahwa

 

\binom{n}{0}p^0q^{n-0}+ \binom{n}{1}p^1q^{n-1}+ \dots + \binom{n}{n}p^nq^{n-n}=1

 

Dan mengimplikasikan

 

\sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)=1

 

Terbukti

 

 

Contoh 1

Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap uji-kejut adalah \frac{3}{4}. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan.

 

Penyelesaian:

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p= \frac{3}{4} untuk masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan x=2

b(x;3, \frac{1}{4})= \binom{4}{2} ( \frac{3}{4})^2( \frac{1}{4})^2= \frac{4!}{2!2!} \frac{3^2}{4^4}= \frac{27}{128}

 

Tulisan Terbaru :

 

 

Iklan
Kategori:statistika
  1. feranainggolan
    31 Oktober 2012 pukul 5:51 PM

    contoh nya buat jalan nya dong???

  2. 28 Juni 2011 pukul 10:21 AM

    nice share…..
    boleh tanya2 yaaaaah….

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: