Beranda > kalkulus > Keberadaan Fungsi Balikan

Keberadaan Fungsi Balikan

  

Teorema : Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan.

  

Fungsi monoton

Misalkan f(x) terdefinisi pada suatu himpunan R. Untuk semua x_1,x_2 \in R, fungsi f(x) dikatakan:

  

monoton naik, jika x_1<x_2  maka f(x_1)<f(x_2)

monoton turun, jika untuk x_1<x_2  maka f(x_1)>f(x_2)

monoton tak naik, jika untuk x_1<x_2  maka f(x_1) \ge f(x_2)

monoton tak turun, jika untuk x_1<x_2  maka f(x_1) \le f(x_2)

monoton datar, jika untuk x_1 \ne x_2  maka f(x_1)=f(x_2)

  

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.

  

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun.

  

monoton naik, jika x_1<x_2  maka f(x_1)<f(x_2)

monoton turun, jika untuk x_1<x_2  maka f(x_1)>f(x_2)

  

Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers.

  

Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk x_1<x_2  maka berlaku f(x_1)<f(x_2) untuk setiap x_1,x_2  pada daerah asalnya.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika x_1 \ne x_2  maka berlaku f(x_1 ) \ne f(x_2) untuk setiap x_1,x_2  pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

   

Bukti teorema

Jika f  monoton murni pada daerah asalnya, maka f  memiliki balikan

Kita ambil f:A \to B

Jika f monoton murni maka f satu-satu dan onto

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.

  

Bukti untuk f satu-satu.

Diketahui f monoton naik \iff x_1<x_2 \to f(x_1)<f(x_2)

Dengan kata lain :  x_1 \ne x_2 \to f(x_1 ) \ne f(x_2)

Terbukti f satu-satu.

   

Bukti untuk onto

Onto artinya f(A)=B, yang ekuivalen dengan f(A) \subseteq B dan B \subseteq f(A)

Untuk f(A) \subseteq B sudah sangat jelas.

Sekarang akan dibuktikan untuk B \subseteq f(A)

Andaikan

\exists b \in B dan b \notin f(A)

Maka \exists x_1,x_2 \in A, \ni f(x_1)<b<f(x_2)

Untuk \lim \limits_{x \to x_1}x=c= \lim \limits_{x \to x_2}x, \qquad x_1 \ne c \ne x_2

Maka \lim \limits_{x \to x_1}f(x)= \lim \limits_{x \to x_2}f(x)=f(c)

Menurut teorema apit f(c)<b<f(c)  maka haruslah f(c)=b

Jadi c \in A \ni f(c)=b

b \in f(A)

Kontradiksi bahwa b \notin f(A)

Jadi, f adalah Onto.

  

Contoh soal

Perlihatkan bahwa f memiliki balikan. Untuk f(x)=2x^7-x^5+12x.

  

Jawab :

Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu

f'(x)=14x^6-5x^4+12

Dimana nilai f'(x)  selalu lebih besar nol untuk setiap x.

f'(x)=14x^6-5x^4+12>0  untuk semua x

Jadi  f naik pada seluruh garis real.

sehingga f  memiliki balikan di sana.

  

Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk  f^{-1}

  

Tulisan Terbaru :

  

Iklan
Kategori:kalkulus
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: