Penerapan turunan
Cukup banyak penerapan dari suatu turunan. Beberapa akan dituliskan di bawah ini. Salah satunya yaitu untuk menentukan suatu maksimum dan minimum. Menentukan nilai maksimum, menentukan titik puncak, menentukan kecekungan, dan lain-lain.
Maksimum dan Minimum
Definisi : Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, kita katakana bahwa
adalah nilai maksimum f pada S jika
untuk semua x di S
adalah nilai minimum f pada S jika
untuk semua x di S
adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum
Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif
Teorema : Keberadaan Maksimum-Minimum
Jika f kontinu pada selang tutup maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana
Keberadaan minimum dan maksimum pasti ada pada suatu selang tertutup. Ini sangatlah jelas, apalagi kurva yang ada di dalamnya adalah kurva naik atau kurva turun. Untuk kurva yang datar, di semua titik adalah maksimum dan minimum.
Teorema : Titik Kritis
Andaikan f terdiferensiasikan pada selang I yang memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu
1.Titik ujung dari
2.Titik stasioner dari
3.Titik singular dari tidak ada
Contoh : Carilah titik-titk kritis dari pada
Penyelesaian : Titik-titik ujung adalah dan
Untuk mencari titik stasioner kita selesaikan
untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak ada titik-titik singular. Jadi, titik-titik kritis adalah
Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi : Andaikan f terdefinisi pada selang I (buka, tutup atau tak satupun). Kita katakana bahwa :
f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan dan
dalam I berlaku
f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan dan
dalam I berlaku
f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I
Turunan Pertama dan Kemonotonan
Teorema : Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik–dalam dari I
Jika untuk semua x titik–dalam I, maka f naik pada I
Jika untuk semua x titik–dalam I, maka f turun pada I
Contoh : Tentukan dimana naik dan dimana turun
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa penyebut selalu bernilai positif. Titik-titik pemisahyaitu 1 dan -1 mengakibatkan menjadi tiga selang. Yaitu jika kita menguji nilai mereka, kita temukan bahwa
pada selang yang pertama dan yang ketiga. Dan
pada selang yang kedua. Kita menyimpulkan bahwa g turun pada
dan
dan g naik pada
Turunan Kedua dan Kecekungan
Definisi : Andaikan f terdiferensialkan pada selang buka I. Kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika naik pada I dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika
turun pada I
Teorema
Andaikan f terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I
Jika untuk semua x dalam I, naka f cekung ke atas pada I
Jika untuk semua x dalam I, naka f cekung ke bawah pada I
Titik Balik
Andaikan f kontinu di c. kita sebut suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.
Maksimum Lokal dan Minimum Lokal
Definisi : Andaikan S daerah asal dari f mengandung titik c. Kita katakana bahwa
adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval
yang berisi c sehingga
adalah nilai maksimum dari f pada
adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval
yang berisi c sehingga
adalah nilai minimum dari f pada
adalah suatu nilai ekstrim lokal local dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai maksimum local atau sebuah nilai minimum local.
Teorema : Andaikan f kontinu pada selang buka yang memuat titik kritis c
Jika untuk semua x dalam
dan
untuk semua x dalam
maka
adalah nilai maksimum lokal f
Jika untuk semua x dalam
dan
untuk semua x dalam
maka
adalah nilai minimum lokal f
Jika bertanda sama pada kedua pihak c, maka
bukan nilai ekstrim local f
Teorema : Uji Turunan Kedua
Andaikan dan
ada pada setiap titik selang buka
yang memuat c, dan andaikan
Jika maka
adalah nilai maksimum local f
Jika maka
adalah nilai minimum local f
Teorema Nilai Rata-rata
Jika f kontinu pada selang tutup dan terdiferensiasikan pada titik-titik dalam dari
maka terdapat paling sedikit satu bilangan
dalam
dengan
atau sama dengan
Contoh : Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk pada
Penyelesaian :
Dan
Jadi, kita harus menyelesaikan
Penyelesaian tunggalnya adalah
Tulisan Terbaru :
Sipp mantab sangat membantu buat ank jur matematika
Bukan hanya untuk jur math. Tp jg untuk semuanya.. Hehe..
Salam matematika