Beranda > olimpiade > Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)

Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)

 

Suatu peridaksamaan yang memang jarang terpikirkan oleh kita. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real a, b dengan a \ge 0 dan b \ge 0 berlaku

 

\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}

 

Bukti : Suatu hal yang sudah kita ketahui, bahwa bilangan kuadrat selalu bernilai positif (kita tidak bicara mengenai bilangan kompleks). Jika a \ge 0 dan b \ge 0, maka 

 

( \sqrt{a}- \sqrt{b})^2 \ge 0

a-2 \sqrt{ab}+b \ge 0

 

atau

 

\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}

 

Perhatikan syarat a dan b, jika a dan b negative, akan mengakibatkan \sqrt{a} dan \sqrt{b} tidak bernilai pada bilangan real. Pertidaksamaan terakhir disebut sebagai rata-rata aritmetika.

 

Sedangkan jika a \ge 0 dan b \ge 0, maka bilangan

 

\sqrt{ab}=(ab)^{ \frac{1}{2}}

 

Ini disebut sebagai rata-rata geometri. Pertidaksamaan pada soal mengatakan bahwa rata-rata aritmetika lebih besar dari pada rata-rata geometri. Oleh karena itu pertidaksamaan seperti ini disebut pertidaksamaan aritmetika dan geometri. Dan sering disingkat sebagai Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)

 

Pertidaksamaan AM-GM ini akan sering digunakan untuk membuktikan suatu soal-soal pertidaksamaan yang lainnya. Gunanya pun sangat banyak nantinya.

 

Tulisan Terbaru :

 

 

Iklan
Kategori:olimpiade
  1. 29 Maret 2015 pukul 10:02 PM

    mau nanya, pertidaksamaan AM-GM salah satu gunanya apa ya? trims

  2. 11 April 2011 pukul 8:57 AM

    Saya pernah belajar ini ga, ya?

    • 12 April 2011 pukul 6:03 PM

      di SMA, kalau di materi biasa ya belum kayaknya… mungkin di bimbingan pra olimpiade atau apa gitu semacamnya

  1. 30 Desember 2013 pukul 5:31 PM
  2. 16 Maret 2011 pukul 9:49 PM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: