Beranda > olimpiade > Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Pertidaksamaan ini sangat terkenal di dunia matematika. Bentuk pertidaksamannya adalah seperti ini

 

(ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)

 

Pertidaksamaan ini akan berlaku sama dengan jika a:b:c=x:y:z

 

Bentuk pertidaksamaan Cauchy-Schwarz ini juga berlaku untuk banyak bilangan. Bentuk pertidaksamaan ini juga berlaku untuk yang berikut: 

 

(a_1x_1+a_2x_2+ \dots +a_nx_n)^2 \le ({a_1}^2+{a_2}^2+ \dots +{a_n}^2)({x_1}^2+{x_2}^2+ \dots +{x_n}^2)

 

Sama halnya dengan sebelumnya, pertidaksamaan ini berlaku sama dengan jika perbandingannya sama. Seperti pada kasus sebelumnya.

 

Bukti-bukti untuk pertidaksamaan ini juga sangat banyak sekali. Salah satu buktinya adalah bukti yang paling sederhana

 

 

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2

=(a^2y^2+b^2x^2-2abxy)+(b^2z^2+c^2y^2-2bcyz)+(c^2x^2+a^2z^2-2acxz)

=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 \ge 0

 

Bukti selesai.

 

 

Bentuk terakhir akan sama dengan nol jika

 

ay-bx=0 \qquad bz-cy=0 \qquad cx-az=0

 

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz ini cukup terkenal di matematika. Dan biasanya digunakan dalam soal-soal olimpiade. Selain pertidaksamaan ini masih banyak lagi tipe pertidaksamaan yang lain.

Kategori:olimpiade
  1. kijo
    6 Januari 2011 pukul 11:00 PM

    memang saya tahu untuk menyelesaikan soal..ada gak alasan yang lebih spesifik lagi yang lebih jelas

    • 8 Januari 2011 pukul 9:46 AM

      Ada buku yang menyebutkan, pertidaksamaan ini juga bisa untuk membuktikan pertidaksamaan segitiga.. Tapi aku masih bingung…

  2. kijo
    6 Januari 2011 pukul 10:30 PM

    tolong kasi tau ya apa kegunaan dan manfaat pertidaksamaan CAUCHY-SCHWARZ?

    • 6 Januari 2011 pukul 10:35 PM

      Ini biasanya digunakan pada soal-soal olimpiade… kegunaannya mungkin hanya untuk penyelesaian soal..

  1. 30 Desember 2013 pukul 5:31 PM
  2. 16 Maret 2011 pukul 9:49 PM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: