Beranda > bilangan prima > Bilangan prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n – 1

Bilangan prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n – 1

Setiap bilangan prima yang lebih besar dari 4, bisa dituliskan menjadi 6n \pm 1. dengan n adalah bilangan asli. Misalnya, 7=6(1)+1, \, 11=6(2)-1, \, 13=6(2)+1, dan lain-lain. Hanya 2 dan 3, bilangan prima yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut. Selain bilangan itu, bilangan prima yang lain bisa dituliskan ke dalam bentuk

 

6n \pm 1

 

Dengan n adalah bilangan asli.

 

Mengapa bisa demikian? Perhatikan bilangan-bilangan berikut.

 

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, \dots

 

2 merupakan bilangan prima. Jadi kelipatan-kelipatan dari 2 bukan merupakan bilangan prima. Begitu juga 3. 3 merupkan bilangan prima dan kelipatan 3 bukan merupakan bilangan prima. Karena hal ini, mengakibatkan kelipatan 3 sekaligus kelipatan 2 yaitu kelipatan 6 bukan merupakan bilangan prima. Dengan menggunakan kelipatan 6, kita bisa menuliskan semua bilangan asli ke dalam bentuk 6n, \, 6n+1, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4, \, 6n+5. dengan n adalah bilangan cacah.

 

Kita sudah mempunyai suatu hal, yaitu 2 dan 3 adalah bilangan prima. Sehingga kelipatan 2 bukan bilangan prima. Dan kelipatan 3 juga bukan merupakan bilangan prima. Dan semua bilangan asli bisa kita tuliskan ke dalam bentuk 6n, \, 6n+1, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4, \, 6n+5. dengan n adalah bilangan cacah. Dari ke enam bentuk tersebut, bisa kita katakan bahwa bilangan dengan bentuk 6n bukan merupakan bilangan prima, karena merupakan kelipatan 6. Akibatnya 6n juga merupakan kelipatan 2. Begitu juga 6n+2 dan 6n+4 merupakan kelipatan 2. Karena kelipatan 6 ditambah dengan bilangan genap. Akibatnya 6n+2 dan 6n+4 pasti bukan bilangan prima. Ingat! di sini kita menggunakan n bilangan asli. Karena 6n+2 untuk n=0 sama dengan 2. Ini merupakan bilangan prima. Jadi, dari sini kita sudah menggunakan n adalah bilangan asli. Sebenarnya, dari awal kita sudah menggunakan n adalah bilangan asli.

 

Sekarang perhatikan untuk 6n+3, ini merupakan bilangan kelipatan 3. Karena 6n adalah kelipatan 3 dan 3 adalah kelipatan 3. Sehingga, 6n+3 adalah kelipatan 3 dan bukan merupakan bilangan prima. Dari ke enam bentuk tersebut, yang bisa kita pastikan bukan merupakan bilangan prima adalah 6n, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4. ke empat bentuk ini pasti bukan merupakan bilangan prima. Untuk n adalah bilangan asli.

Sehingga, bentuk 6n+1 dan 6n+5 yang mempunyai kemungkinan bilangan prima. Bentuk 6n+5 sama dengan bentuk 6n-1.

 

Ingat! di awal kita mengatakan bahwa, bilangan prima lebih besar dari 4 bisa dituliskan menjadi bentuk 6n \pm 1. dengan n adalah bilangan asli. Ini tidak sama dengan pernyataan “setiap bilangan berbentuk 6n \pm 1. dengan n adalah bilangan asli adalah bilangan prima.” Pernyataan ini adalah pernyataan yang salah. Karena 6n+1. dengan n=4 adalah bukan merupakan bilangan prima. Bilangan yang dihasilkan adalah 25. Dan 25 bukan merupakan bilangan prima.

Sangat diharapkan untuk berhati-hati di dalam sebuah pernyataan di matematika. Yang kita punya adalah pernyataan bahwa “Setiap bilangan prima yang lebih besar dari 4, bisa dituliskan menjadi 6n \pm 1. dengan n adalah bilangan asli.” Kita bisa menyebutnya dengan teorema.

 

Lalu, berikut adalah akibat-akibat dari pernyataan tersebut:

 

 

*kuadrat bilangan prima (kecuali 3), jika dibagi 3 maka akan bersisa 1


Di awal tadi kita memberi syarat bahwa p>4, maka p bisa dituliskan menjadi 6n \pm 1. Untuk bilangan prima lebih besar 4, maka bisa kita tuliskan menjadi 6n \pm 1. Ketika kita kuadratkan menghasilkan

 

(6n \pm 1)^2=(6n)^2 \pm 12n+1.

 

Bentuk terakhir adalah sisa 1 jika dibagi 3. Lalu bagaimana dengan bilangan prima yang kurang dari 4? Karena hanya ada dua bilangan prima yang kurang dari 4, yaitu 2 dan 3. Maka untuk bilangan prima 2, 2^2=4 4 memberikan sisa 1 jika dibagi 3. Sedangkan untuk 3 sendiri. 3 kuadrat habis dibagi 3. Jadi, kita sudah menunjukkan bahwa semua bilangan prima (kecuali 3) yang dikuadratkan, jika dibagi 3 akan memberikan sisa 1.

 

*kuadrat bilangan prima (kecuali 2) jika dibagi 4 maka akan bersisa 1.


*kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 6 maka akan bersisa 1.


*kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 12 maka akan bersisa 1.


Bentuk-bentuk tersebut bisa ditunjukkan seperti bentuk yang pertama

 

 

*hasil perkalian sebarang bilangan prima (kecuali 2 dan 3) akan berbentuk 6n+1 atau 6n-1


hasil perkalian sebarang bilangan prima (kecuali 2 dan 3) akan berbentuk 6n \pm 1 dengan n adalah bilangan asli. Buktinya sebagai berikut:

Karena setiap bilangan prima kecuali 2 dan 3 bisa dituliskan menjadi 6n \pm 1, maka ada 3 kemungkinan hasil perkaliannya, yaitu:

 

(6k+1)(6l+1)=36kl+6k+6l+1=6(6kl+k+l)+1

(6k-1)(6l-1)=36kl-6k-6l+1=6(kl-k-l)+1

(6k+1)(6l-1)=36kl-6k+6l-1=6(6kl-k+l)-1

 

Hal ini menunjukkan apa yang dimaksudkan.

 

Dan akhirnya, perkalian beberapa bilangan prima (kecuali 2 dan 3) juga bisa dituliskan ke dalam bentuk 6n \pm 1 dengan n adalah bilangan asli.

 

 

*perkalian prima kembar jika ditambah 1 maka menjadi bilangan kuadrat


11 dan 13 merupakan salah satu prima kembar yang kita kenal. (11 \times 13)+1=143+1=144. Perhatikan bahwa 144 merupakan bilangan kuadrat. yaitu 12^2. Bukti untuk pernyataan atau teorema ini sebagai berikut.

Bilangan prima kembar pasti berbentuk 6n+1 dan 6n-1. Karena prima kembar adalah dua bilangan prima yang mempunayi selisih 2. Perkalian dua bilangan prima kembar ini akan mengahsilkan bentuk berikut:

 

(6n+1)(6n-1)=(6n)^2-1

 

Jika kita menambahkan 1 pada bentuk terakhir, maka akan diperoleh (6n)^2 yang tidak lain merupakan bilangan kuadrat. Hal ini sudah menunjukkan bahwa bilangan prima kembar yang dikalikan dan hasilnya ditambah dengan 1, maka akan membentuk bilangan kuadrat.

Kategori:bilangan prima
  1. Belum ada komentar.
  1. 25 November 2015 pukul 6:19 AM
  2. 25 November 2015 pukul 2:12 AM
  3. 25 November 2010 pukul 7:44 PM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: