Beranda > bilangan prima > Kuadrat bilangan prima jika dibagi 24 akan bersisa 1

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 24 akan bersisa 1

 

Kecuali bilangan prima 2 dan 3. Karena kuadrat dari 2 adalah 4. Dan kuadrat dari 3 adalah 9. Mereka tidak memberikan sisa 1 jika dibagi 24. Lalu, bagaimana bukti dari pernyataan “Kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 24 akan bersisa 1”

Bukti :

Ingat bahwa bilangan kuadrat yang lebih besar dari 4 bisa ditulis ke dalam bentuk 6n \pm 1 dengan n adalah bilangan asli. Dengan demikian ketika kita kuadratkan akan menghasilkan

6n \pm 1

=(6n \pm 1)^2

36n^2 \pm 12n + 1

Bentuk terakhir akan bersisa 1 jika dibagi 12. Lalu, bagaimana kita menunjukkan bahwa bentuk terakhir akan memberikan sisa 1 jika dibagi 24?

Bentuk terakhir bisa kita tuliskan

36n^2 \pm 12n+1

12n(3n \pm 1)+1

12 \times n(3n \pm 1)+1

Bentuk n(3n \pm 1) akan selalu menghasilkan bilangan genap untuk sebarang n. Maka n(3n \pm 1) merupakan kelipatan 2.

Buktinya, untuk n ganjil, maka 3n+1 adalah genap. Ganjil kali genap sama dengan genap.

Untuk n genap, maka 3n+1 merupakan bilangan ganjil. Genap kali ganjil sama dengan genap.

Jadi, bentuk n(3n \pm 1) bisa kita tuliskan menjadi 2k karena merupakan bilangan genap, atau merupakan bilangan kelipatan 2.

Sehingga bentuk yang kita dapatkan tadi bisa kita tuliskan menjadi

12 \times n(3n \pm 1)+1

12 \times 2k+1

24k+1

Bentuk paling akhir ini sangat jelas menunjukkan bahwa bilangan tersebut akan menghasilkan sisa 1 jika dibagi dengan 24.

Sehingga. Bukti pun selesai.

Akibat-akibatnya yaitu :

Untuk bilangan prima bukan 2 dan bukan 3, maka

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 24 sisanya adalah 1

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 12 sisanya adalah 1

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 6 sisanya adalah 1

Intinya, bilangan prima yang dikuadratkan akan bersisa 1 jika dibagi dengan faktor positif dari 12.

Semoga bermanfaat.

Kategori:bilangan prima
  1. 20 Desember 2010 pukul 6:30 PM

    Sama2….. Thanks juga udah berkunjung…. Amiinnnnnnnn…

  2. 4 Desember 2010 pukul 6:34 PM

    Thanxxxxx KK banyaX” trima kasih,,,

    Mantep Kkk…

    Mga SukseS SlaLu

    THnx…

  1. 25 November 2015 pukul 6:19 AM
  2. 25 November 2015 pukul 2:12 AM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: