Beranda > kombinatorik > Jumlah angka dari n! merupakan kelipatan 3

Jumlah angka dari n! merupakan kelipatan 3

 

Secara lengkapnya, jumlah angka-angka dari bilangan n! (untuk n lebih besar dari 2) merupakan kelipatan 3. Ini kami dapatkan ketika kami mencari jumlah angka-angka dari bilangan 100!. Meskipun sebenarnya hal ini adalah hal yang mendasar dan sangat mudah. Perhatikan saja untuk beberapa bilangan n! berikut 

 

1!=1  jumlah angka-angkanya adalah 1

2!=2  jumlah angka-angkanya adalah 2

3!=6  jumlah angka-angkanya adalah 6

4!=24  jumlah angka-angkanya adalah 6

5!=120  jumlah angka-angkanya adalah 3

6!=720  jumlah angka-angkanya adalah 9

7!=5040  jumlah angka-angkanya adalah 9

8!=40320  jumlah angka-angkanya adalah 9

9!=362880  jumlah angka-angkanya adalah 27

 

Jumlah angka-angka dari bilangan n! (untuk n lebih besar dari 2) merupakan kelipatan 3. Kecuali 1! dan 2!. Untuk 1! dan 2! jumlah digit-digitnya berturut-turut adalah 1 dan 2. Sedangkan untuk 3! dan selanjutnya merupakan kelipatan 3. Tapi apa kita yakin? Kita kan belum mencoba untuk mengecheck untuk bilangan 10! dan seterusnya.

 

Mengecheck semuanya itu adalah hal yang tidak mungkin. Lalu, bagaimana kita menunjukkan bahwa ini juga berlaku untuk 10! atau lebih?

 

 

Bukti :

 

n! menurut definisinya adalah n(n-1)(n-2) \dots (2)(1). Untuk n! (untuk n lebih besar dari 2) bisa dituliskan 3! yang artinya 3.2.1=6, 4!=4.3.2.1=24 dan untuk bilangan yang lebih besar bisa dituliskan menjadi n(n-1) \dots (3!), yang di dalamnya pasti mengandung 3!

Sekarang kita perhatikan bahwa $3!=6$ adalah bilangan kelipatan 3. Bilangan yang dikalikan dengan kelipatan 3, pasti juga merupakan kelipatan 3. Sehingga bilangan-bilangan n! (untuk n lebih besar dari 2) pasti juga merupakan kelipatan 3.

 

Mengapa?

 

Karena di dalam bilangan n! (untuk n lebih besar dari 2) ada unsure 3! yang merupakan kelipatan 3.

Bilangan kelipatan 3 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya adalah kelipatan 3.

 

Itu adalah teorema penting pada bilangan habis dibagi 3. Bilangan habis dibagi 3 sangat bergantung dari jumlah angka-angkanya. Bilangan kelipatan 3, bilangan habis dibagi 3, dan jumlah angka-angkanya saling berhubungan.

Sehingga, dari teorema bilangan kelipatan 3 tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan n! (untuk n lebih besar dari 2) mempunyai jumlah digit yang merupakan kelipatan 3.

 

Terbukti.

 

Meskipun bukti masih acak-acakan, semoga bisa dimengerti. Ini juga akan mengakibatkan bahwa untuk bilangan n! (untuk n lebih besar dari 5) mempunyai jumlah angka-angka yang merupakan kelipatan 9.

 

Mengapa?

 

Ada hubungannya dengan ciri bilangan habis dibagi 9. Dan perkalian kelipatan 3 dengan kelipatan 6.

Semoga bermanfaat.

 

Tulisan Terbaru :

 

 

Iklan
Kategori:kombinatorik
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: