Beranda > barisan, deret, induksi, bukti > Bukti induksi untuk deret

Bukti induksi untuk deret

  

1+2+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}

(1 \times 2)+(2 \times 3)+ \dots +(n(n+1))= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

(1 \times 2 \times 3)+(2 \times 3 \times 4)+ \dots +(n(n+1)(n+2))= ?

  

Kita-kira bagaimana rumusnya? Di isi dengan rumus bagaimanakah tanda tanya itu supaya benar?

  

Dengan sedikit menyimpulkan suatu pola yang muncul pada dua deret sebelumnya, kita bisa menebaknya bahwa rumus untuk deret tersebut sama dengan seperti berikut :

  

(1 \times 2 \times 3)+(2 \times 3 \times 4)+ \dots +(n(n+1)(n+2))= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

  

Apakah juga benar untuk (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)?. Apakah selanjutnya bisa kita simpulkan juga berlaku untuk (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \dots \times p)?

  

(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(n(n+1) \times \dots \times (n+p-1))= \frac{n(n+1)(n+2) \times \dots \times (n+p)}{p+1}

  

Ini harus dibuktikan dengan induksi matematika.

  

Mari kita coba membuktikan untuk yang pertama, kita akan membuktikan

  

1+2+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}

  

Bukti :

Benar untuk n=1, yaitu \frac{1(1+1)}{2}= \frac{2}{2}=1

  

Andaikan benar untuk n=k, yaitu

1+2+ \dots +k= \frac{k(k+1)}{2}

  

Akan dibuktikan benar untuk n=k+1, akan dibuktikan

1+2+ \dots +(k+1)= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}

  

Bukti :

1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)

1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2}+ \frac{2(k+1)}{2}

1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{(k+2)(k+1)}{2}

1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}

Terbukti

  

Ini terbukti benar untuk bentuk  1+2+ \dots +k= \frac{k(k+1)}{2}

Bagaimana bentuk-bentuk yang lainnya? Apakah juga benar

Mari kita buktikan secara umumnya. Dengan menggunakan induksi matematika.

  

(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(n(n+1) \times \dots \times (n+p-1))= \frac{n(n+1)(n+2) \times \dots \times (n+p)}{p+1}

  

Benar untuk n=1,

(1 \times 2 \times \dots \times p)= \frac{1(1+1)(1+2) \times \dots \times (p)(1+p)}{p+1}=(1 \times 2 \times \dots \times p)

  

Andaikan benar untuk n=k,

(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(k(k+1) \times \dots \times (k+p-1))= \frac{k(k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p)}{p+1}

  

Akan dibuktikan benar untuk n=k+1

  

Akan dibuktikan

(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +((k+1)((k+1)+1) \times \dots \times ((k+1)+p-1))= \frac{(k+1)(k+2)(k+3) \times \dots \times (k+p+1)}{p+1}

Bukti

(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +((k+1)((k+1)+1) \times \dots \times ((k+1)+p-1))= \frac{k(k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p)}{p+1}+(k+1)(k+2) \times \dots \times ((k+p)

= \frac{k(k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p)}{p+1}+ \frac{(p+1)(k+1)(k+2) \times \dots \times ((k+p)}{p+1}

= \frac{((k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p))(k+p+1)}{p+1}

Terbukti

  

Jadi, kita sudah membuktikannya secara umum. Sehingga berlaku bentuk-bentuk berikut

  

1+2+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}

  

(1 \times 2)+(2 \times 3)+ \dots +(n(n+1))= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

  

(1 \times 2 \times 3)+(2 \times 3 \times 4)+ \dots +(n(n+1)(n+2))= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

  

(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(n(n+1) \times \dots \times (n+p-1))= \frac{n(n+1)(n+2) \times \dots \times (n+p)}{p+1}

  

Semoga bermanfaat

Tulisan Terbaru :

  

Iklan
  1. opi
    27 Januari 2011 pukul 11:34 AM

    bisa tolong bantu untuk membuktikan :
    Teorema 3.2 (Riedel)
    Misal s dan n bilangan bulat positif dengan s≤n. A∈M_n ,G∈M_s ,Y,Y_p∈ M_(n,s) dan Z ,Z_p ∈ M_(n,s). Asumsikan R(Y)⊆R(A),R(Y_p )⊥R(A),R(Z)⊆R(A^*) dan R(Z_p )⊥R(A^*), G dapat dibalik, Y_p dan Z_p adalah fullrank. Asumsikan juga R(Y_p )=R(Z_p ), maka
    (A+(Y+Y_p )G〖(Z+Z_p)〗^* )^†=A^†-DZ^* A^†-A^† YC^*+D(G^(-1)+Z^* A^† Y) C^*
    dimana C=Y_p 〖(〖Y_p〗^* Y_p)〗^(-1) dan D=Z_p 〖(〖Z_p〗^* Z_p)〗^(-1).

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: