Archive

Archive for Januari, 2011

Fungsi Rasional dan Asimtot

12 Januari 2011 7 komentar

Apa itu fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk \frac{g(x)}{h(x)}, dimana g(x) dan h(x)  adalah suatu fungsi polynomial. Dan h(x) bukan nol. Domain dari fungsi polynomial ini adalah semua nilai x bilangan real kecuali nilai x yang mengakibatkan h(x)=0.

Contoh fungsi rasional,  f(x)= \frac{2x}{4-x}

Fungsi tersebut adalah fungsi rasional. Dengan penyebut suatu fungsi polynomial yang bisa sama dengan nol. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali suatu nilai x yang menyebabkan penyebut bernilai nol. Domainnya seluruh bilangan real, kecuali 4-x=0, kecuali x=4.

 

Karena untuk x=4, maka akan terjadi pembagian dengan nol. Ini akan menyalahi aturan. Lalu, gambar fungsinya adalah sebagai berikut.

 

 

Perhatikan gambar grafik tersebut. Gambar grafik tersebut untuk x=3,9 maka nilai y yang memenuhi adalah sangat besar. Dan untuk x=3,99999 \dots , nilai dari y juga akan mendekati tak hingga. Untuk nilai x=4,1 juga demikian. Nilainya akan semakin mendekati minus tak hingga jika nilai x=4,000000000 \dots 001.

 

Inilah yang akan ada hubungan dengan asimtot. Garis x=4, ini disebut sebagai asimtot tegak (vertical asymptote) untuk gambar grafik ini. Dan garis y=-2 yang didekati oleh kurva menuju tak hingga, juga merupakan asimtot, yaitu asimtot datar. Jika mengetahui gambar grafiknya, kita akan sangat mudah untuk menentukan asimtotnya, bagaimana kalau tidak diketahui gambar grafiknya? Apakah kita harus menggambarnya dulu atau bagaimana?

 

Untuk mencari asimtot tegak, yang harus kita perhatikan adalah penyebut dari fungsi rasional tersebut. Ingat!Mencari asimtot tegak untuk fungsi yang di atas, kita tiggal membuat penyebutnya sama dengan nol. Tetapi ingat, beberapa fungsi rasional memang tidak mempunyai asimtot tegak. Misalnya saja suatu fungsi rasional yang mempunyai penyebut x^2+4, bentuk ini tidak mungkin sama dengan nol. Sehingga suatu fungsi rasional yang berpenyebut seperti ini (atau yang lain, yang tidak bisa sama dengan nol), tidak akan mempunyai asimtot tegak.

 

Untuk mencari asimtot datar (horizontal asymptote), Perhatikan aturan berikut :

Pertama, Jika pangkat tertinggi pada pada pembilang sama dengan pangkat tertinggi pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di garis y sama dengan koefisien pangkat tertinggi pembilang per koefisien pangkat tertinggi penyebut.

Secara umum, jika fungsinya adalah f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^m+qx^{m-1}+\dots+u},

maka asimtot datarnya ada di y= \frac{a}{p}

dengan m adalah pangkat teetinggi dari kedua polynomial tersebut. (polynomial sebagai pembilang dan polynomial sebagai penyebut)

Misalnya, asimtot datar dari fungsi rasional berikut ini

f(x)= \frac{4x^3+2x-2}{2x^3-2x^2+5x-1}

Asimtot datarnya adalah y= \frac{4}{2}=2

Kedua, jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di y=0

Secara umum, jika fungsinya adalah f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^n+qx^{n-1}+\dots+u}, dengan m<n

maka asimtot datarnya ada di y=0

Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka tidak ada asimtot datar. Ingat!

 

Asimtot miring (oblique asymptote atau slant asymptote) bisa didapatkan untuk kasus yang terakhir ini.

Misalnya saja fungsi berikut ini :

f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}

Untuk mencari asimtot dari grafik tersebut, maka lakukan pembagian antara pembilang dan penyebut. Akan ada hasil pembagian dan sisa, seperti berikut :

f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}= (2x+1)+ \frac{1}{x-2}

Sekarang bisa kita lihat, ketika x menuju tak hingga, maka \frac{1}{x-2} menuju nol.

Dan nilai f(x) sama dengan 2x+1. Inilah yang bisa menyimpulkan bahwa, grafik kurva pada soal, akan mendekati garis y=2x+1 ketika x menuju tak hingga.

Asimtot miringnya pun didapatkan yaitu y=2x+1,

Ingat, tidak ada asimtot datar.

 

Asimtot tegak ada di x=2, karena nilai inilah yang menyebabkan penyebut sama dengan nol.

Seperti pada gambar berikut :

 

 

Asimtot datar tidak ada ketika pangkat terbesar dari pembilang lebih besar dari pangkat terbesar dari penyebut. Ingat. Sehingga ini menyebabkan, tidak mungkin adanya suatu fungsi yang mempunyai asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan.

 

Tulisan Terbaru :

SMS Matematika “Asimtot”

9 Januari 2011 28 komentar

Tentang  SMS Matematika Asimtot

Sms matematika Asimtot adalah SMS tentang matematika (sms yang kami kirimkan biasanya tidak lebih dari 1 sms) yang kami kirimkan kepada kamu yang ingin tahu tentang matematika yang unik dan pengetahuan lain tentang matematika. Sms matematika ini akan kami kirimkan tidak menentu. Normalnya, akan kami kirimkan 4 hari sekali. Dan kami kirim sekitar pukul 16.00 sampai 20.00

Tujuan utama kami adalah mengajak semuanya untuk belajar dan meyukai matematika lewat SMS.  Baca selanjutnya…

Kategori:info math Tag:

Jumlah kuadrat bilangan berurutan

9 Januari 2011 2 komentar

 

Jumlah kuadrat bilangan berurutan, misalnya 3^2+4^2+5^2=50. Bentuk seperti ini yang akan dibahas ditulisan ini. Di dalam soal-soal matematika atau kalimat-kalimat matematika, kita perlu hati-hati dengan perbedaan antara “kuadrat jumlah” dan “jumlah kuadrat”. Kalau kuadrat jumlah artinya, Kuadrat dari jumlah beberapa bilangan. Misalnya (1+2+3+4+5)^2. Sedangkan untuk jumlah kuadrat artinya jumlah dari beberapa bilangan kuadrat. misalnya, 3^2+4^2+5^2. Perbedaan ini sangat penting untuk memahami matematika.

 

Jumlah kuadrat bilangan berurutan (bilangan asli) akan diberikan menjadi beberapa sub bab, seperti berikut :

Baca selanjutnya…

Kategori:bilangan

Palindrom yang bagus

9 Januari 2011 1 komentar

 

 

Bilangan palindrom merupakan bilangan yang dibaca dari belakang bernilai sama dengan ketika dibaca dari belakang. Misalnya, 232 ini akan sama dengan jika dibaca dari belakang, yaitu sama dengan 232. Baca selanjutnya…

Kategori:bilangan unik Tag:

56095

9 Januari 2011 1 komentar

 

Bilangan ini bilangan yang kami temukan ketika berusaha mencari-cari sesuatu yang lain. Kami belum mengetahui apakah sudah ada yang menemukan sebelumnya. Bilangan 56095. Kita mengetahui bahwa bilangan 56095 bukan merupakan bilangan palindrom. Karena 56095 dan 59065 merupakan bilangan yang berbeda. Bilangan 56095 ini juga bukan merupakan bilangan kuadrat, karena  \sqrt{56095}=236,843830403 \dots. 56095 ini juga bukan merupakan bilangan prima, karena bilangan bukan 5 yang berakhiran 5.

 

Lalu, apa keunikan dari bilangan ini?  Baca selanjutnya…

Kategori:bilangan

Keluarga bilangan prima

8 Januari 2011 3 komentar

 

Bilangan prima memang tidak bisa ditebak. Ada yang ini dan ada yang seperti itu. Kalau tulisan sebelumnya membahas tentang bilangan prima yang membentuk palindrome, maka kali ini beda lagi. Kali ini yang akan dibahas adalah mengenai keluarga bilangan prima dan juga kawan-kawannya.

 

Bilangan dengan bentuk “m3”, dengan m adalah angka. Ini membentuk suatu keluarga yang sakinah, mawaddah dan warahmah. Hehe. Bilangan prima yang seperti itu ada sebanyak 6 bilangan, yaitu

 

13, \quad 23, \quad 43, \quad 53, \quad 73, \quad 83 Baca selanjutnya…

Kategori:bilangan prima

Mempunyai faktor bilangan prima saja

6 Januari 2011 1 komentar

 

Suatu bilangan yang mempunyai faktor positif yaitu bilangan prima saja (bilangan 1 dan dirinya sendiri memang sebagai faktor, tetapi di sini kita tidak menghitungnya). Misalnya 14, mempunyai faktor-faktor positif yaitu 1, 2, 7 dan 14. (untuk selanjutnya [pada tulisan ini saja] kita tidak menuliskan 1 dan dirinya sendiri sebagai faktor). Jadi faktor positifnya (tanpa dirinya sendiri dan satu) adalah 2 dan 7, yang keduanya merupakan bilangan prima. Baca selanjutnya…

Kategori:bilangan prima