Beranda > bukti > Ketaksamaan segitiga dan akibatnya

Ketaksamaan segitiga dan akibatnya

 

Tentunya sudah sangat mengenal tentang ketaksamaan segitiga (Triangle Inequality). Sebagai berikut :

 

\mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid

 

Bagaimana bukti dari ketaksamaan segitiga tersebut?

 

Sebelum masuk ke buktinya, mari kita coba dulu ketaksamaan segitiga tersebut, kapan berlaku sama dengan dan kapan berlaku kurang dari. misalnya kita pilih bilangan 2,3,-2 dan -3

 

\mid 2+3 \mid = \mid 2 \mid + \mid 3 \mid

\mid 2+(-3) \mid < \mid 2 \mid + \mid -3 \mid

\mid (-2)+3 \mid < \mid -2 \mid + \mid 3 \mid

\mid (-3)+(-3) \mid = \mid -2 \mid + \mid -3 \mid

 

Ketaksamaan segitiga akan berlaku sama dengan ketika tanda dari kedua bilangan itu sama. negative dan negative, atau positif dan positif. Dengan kata lain, perkalian dua bilangan itu lebih besar dari nol.

 

\mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid

 

Akan bernilai sama dengan ketika ab>0

 

Sekarang kita akan mencoba membuktikannya. Bukti :

 

Ingat! pada pertidaksamaan berlaku  -\mid a \mid \le a \le \mid a \mid untuk setiap a di bilangan real.

 

-\mid a \mid \le a \le \mid a \mid

-\mid b \mid \le b \le \mid b \mid

 

Jika keduanya kita jumlahkan, maka kita peroleh :

 

-\mid a \mid -\mid b \mid \le a+b \le \mid a \mid + \mid b \mid

-( \mid a \mid + \mid b \mid) \le a+b \le \mid a \mid + \mid b \mid

 

Ingat sifat pada pertidaksamaan! Bahwa

 

Jika c \ge 0, maka \mid a \mid \le c jika dan hanya jika -c \le a \le c

 

Sehingga, bentuk -( \mid a \mid + \mid b \mid) \le a+b \le \mid a \mid + \mid b \mid

Bisa dituliskan menjadi :

 

\mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid

 

Ketaksamaan segitiga ini akan sering digunakan. Jadi disarankan untuk mengingatnya.

 

Akibat dari ketaksamaan segitiga ini yang juga akan sering digunakan adalah sebagai berikut :

 

\mid a-b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid

 

Buktinya dengan mudah bisa didapatkan dengan ketaksamaan segitiga. Dengan mengganti b dengan -c, maka kita peroleh \mid a+(-c) \mid \le \mid a \mid + \mid -c \mid.

Akan sama dengan \mid a-c \mid \le \mid a \mid + \mid c \mid

 

Akibat yang kedua :

 

\mid \mid a \mid - \mid b \mid \mid \le \mid a-b \mid

 

Buktinya silahkan.

 

 

 

 

 

 

 

Iklan
Kategori:bukti
  1. Mila
    3 November 2012 pukul 4:06 PM

    Gimana caranya membuktikan │x│+ │y│ ≤ │x + y│ + │x − y│ untuk sebarang bilangan nyata x dan y?

  2. 1 Juli 2012 pukul 8:59 PM

    yang cnth slnjty itu gmnay,,blm phamne,,,,hehe

  3. Ummi Khasanah
    21 Januari 2012 pukul 5:15 PM

    terimaksih materinya membantu belajar saya 😀

  4. natha
    29 September 2011 pukul 1:26 PM

    Ehm….susah d mngerti..
    Mklum…matik pling ancur…
    TP mksh infonya..

  1. 30 Desember 2013 pukul 5:31 PM
  2. 16 Maret 2011 pukul 9:49 PM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: