Beranda > rumus math > Asal rumus jumlah khusus bilangan asli (2)

Asal rumus jumlah khusus bilangan asli (2)

Pada postingan sebelumnya telah ditemukan suatu rumus untuk menentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai n. begitu juga untuk kuadratnya (1^2+2^2 sampai n^2). \frac{n(n+1)}{2} , untuk bagian yang pertama. dan \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} , untuk bagian yang kedua

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+ \dots +n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Sebelumnya pun juga dituliskan mengenai cara menemukan rumusnya dengan bantuan sifat-sifat sigma. Kali ini akan diberikan cara menemukannya dengan menggunakan fungsi pembangkit.

Sebelumnya kita kenalkan dulu bentuk yang akan sangat penting ini :

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ \dots

Dan teorema ini :

“Jika f(x) adalah fungsi pembangkit dari a, maka \frac{f(x)}{1-x} adalah fungsi pembangkit dari a_0+a_1+ \dots +a_n

Untuk mencari rumus-rumus atau kita katakan sebagai “membangkitkan rumus” dengan fungsi pembangkit, kita harus bisa mengutak-atik dengan cara memanipulasinya. Dengan menurunkannya, mengalikan dengan sesuatu, mengalikan dengan x, dan sebagainya.

Kita akan emncoba mencari rumus dari :

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}

Dengan menggunakan fungsi pembangkit.

Pertama, kita perhatikan bentuk ini :

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ \dots

Kemudian kita turunkan terhadap x. Untuk ruas kiri silahkan dihitung! Sambil belajar. Diperoleh seperti berikut ini :

\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots

Mengapa kita turunkan? Karena kita ingin mencari bentuk 1+2+3+ \dots. Setelah kita turunkan terhadap x, ternyata kita mendapatkan bentuk 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots.

Koefisiennya masih belum sama dengan pangkatnya. Kita perlu menyamakannya agar nantinya untuk mencari koefisien x^r, kita bisa langsung juga bisa menemukan rumus 1+2+3+4+ \dots +r

Kita kalikan dengan x :

\frac{x}{(1-x)^2}=1x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+ \dots

Setelah kita mendapatkan bentuk ini. Coba sekarang kita cari koefisien x^r!

Koefisien dari x^1 adalah 1

Koefisien dari x^2 adalah 2

Koefisien dari x^3 adalah 3

Koefisien dari x^r adalah r

Dan seterusnya

Dengan menggunakan teorema, maka kita bisa mendapatkan :

\frac{x}{(1-x)^2} \frac{1}{1-x}=(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots)(1+x+x^2+x^3+x^4+ \dots)

\frac{x}{(1-x)^3}=1+(1+2)x+(1+2+3)x^2+(1+2+3+4)x^3+ \dots

Sekarang, kita hanya perlu mecari koefisien dari x^r untuk mencari rumus dari 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +n

Koefisien dari x^r di ruas kanan adalah 1+2+3+4+5+ \dots +r. kita cari koefisien dari x^r di ruas kiri.

\frac{x}{(1-x)^3}=x \frac{1}{(1-x)^3}

=x(1+x+x^2+x^3+x^4+…)^3

Perhatikan sifat ini :

“Koefisien x^r dari bentuk =(1+x+x^2+x^3+x^4+…)^n adalah \binom{n-1+r}{r}

Sehingga, untuk mencari koefisien x^r dari bentuk =x(1+x+x^2+x^3+x^4+…)^3 adalah \binom{3-1+r-1}{r-1}

\binom{3-1+r-1}{r-1}= \binom{r+1}{r-1}

= \frac{(r+1)!}{2!(r-1)!}= \frac{(r+1)(r)(r-1)!}{2(r-1)!}= \frac{r(r+1)}{2}

Dan akhirnya diperoleh rumusnya

Untuk mencari rumus berikut ini :

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+ \dots +n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Perhatikan langkah-langkah berikut :

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ \dots

Kita turunkan terhadap x, yaitu :

\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots

Kemudian, kita kalikan dengan x, yaitu :

\frac{x}{(1-x)^2}=1x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+ \dots

Kita turunkan lagi terhadap x (untuk ruas kiri silahkan diturunkan dengan aturan pembagian pada turunan), yaitu :

\frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+5^2x^4+ \dots

Kalikan dengan x lagi, yaitu :

\frac{x+x^2}{(1-x)^3}=1x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+5^2x^5+ \dots

Perhatikan ruas kanan!

Koefisien dari x^1 adalah 1

Koefisien dari x^2 adalah 2^2

Koefisien dari x^3 adalah 3^2

Koefisien dari x^r adalah r^2

Dan seterusnya

Seperti soal yang sebelumnya, kita kalikan dengan \frac{1}{1-x} untuk menemukan rumus dari 1^2+2^2+3^2+ \dots +r. didapatkan :

\frac{x+x^2}{(1-x)^4}=1x+(1^2+2^2)x^2+(1^2+2^2+3^2)x^3+(1^2+2^2+3^2+4^2)x^4+ \dots

Koefisien ruas kanan sudah seperti yang diinginkan, sekarang kita mencari koefisien dari ruas kiri. Koefisien dari ruas kiri adalah :

\frac{x+x^2}{(1-x)^4}=(x+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4+ \dots)^4    Koefisisen latex x^r$ bisa ditemukan dengan teorema yang sebelumnya. Sehingga diperoleh :

\binom{4-1+r-1}{r-1}+ \binom{4-1+r-2}{r-2}=\binom{r+2}{r-1}+ \binom{r+1}{r-2}

= \frac{(r+2)(r+1)r}{3!}+ \frac{(r+1)r(r-1)}{3!}

= \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}

Akhirnya diperoleh rumus yang diinginkan.

Cara ini memang agak rumit. Tetapi akan sangat membantu untuk membangkitkan suatu fungsi yang lebih rumit. Dengan cara sifat penjumlahan (sigma) saja kita akan kesulitan mencari suatu rumus seperti ini. Maka dari itu, belajar fungsi pembangkit adalah hal yang menyenangkan. Karena kita bisa mencari suatu rumus dari suatu deret.

Tentunya kemudian kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika

Semoga bermanfaat.

Tulisan Terbaru :

Kategori:rumus math
  1. 26 Juli 2012 pukul 5:48 AM

    GF ya bang …:)

    cek juga di sini ya http://goo.gl/Z4w8c

  1. 25 April 2011 pukul 5:25 PM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: