Beranda > analisis > Mengutak-atik barisan fibonacci menjadi konvergen

Mengutak-atik barisan fibonacci menjadi konvergen

 

Sudah kita kenal bagaimana barisan fibonacci itu. Beberapa suku awalnya adalah :

 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \dots

 

Barisan fibonacci ini menggunakan rumus rekursif yaitu A_n=A_{n-1}+A_{n-2} untuk n>2 dengan A_1=1 dan A_2=1. Tentu di sini n adalah himpunan bilangan asli. 

 

Tentu, barisan fibonacci ini merupakan barisan yang divergen. Karena bilangan-bilangannya semakin membesar mendekati tak hingga. Deret fibonacci juga divergen karena jumlahnya mendekati tak hingga.

 

Berikut adalah deret fibonacci yang dimodif sehingga jumlah deret tak hingganya adalah mempunyai nilai (terhingga).

Kita mengenal deret berikut ini :

 

\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \frac{1}{256}+ \dots

 

Kina mengenal barisan tersebut sebagai barisan yang konvergen. Bagaimana menunjukkannya? Seperti berikut :

Misalkan :

 

K= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \frac{1}{256}+ \dots

 

Jikan kedua ruas kita kalikan dengan 2, kita peroleh :

 

2K=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \dots

 

Kedua ruas kita kurangi dengan 1. Kita peroleh :

 

2K-1= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \dots

 

Ini sama dengan pemisalan kita tadi, sehingga kita peroleh :

 

2K-1=K

2K-K=1

K=1

 

Jadi, kita peroleh bahwa :

 

1= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \frac{1}{256}+ \dots

 

Ini juga bisa dicari dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga dengan suku pertama yaitu setengah dan rasionya adalah setengah.

Jika masing masing suku penjumlahannya diberikan bilangan fibonacci secara berurutan, bagaimanakah dengan jumlahnya?

 

(1) \frac{1}{2}+(1) \frac{1}{4}+(2) \frac{1}{8}+(3) \frac{1}{16}+(5) \frac{1}{32}+(8) \frac{1}{64}+(13) \frac{1}{128}+(21) \frac{1}{256}+ \dots

 

 

Bagaimana dengan jumlahnya?

 

Perhatikan tabel berikut ini :

 

n

Setengah pangkat n

fibonacci

Nilai suku ke-n

Jumlah sampai suku ke-n

1

0,5

1

0,5

0,5

2

0,25

1

0,25

0,75

3

0,125

2

0,25

1

4

0,0625

3

0,1875

1,1875

5

0,03125

5

0,15625

1,34375

6

0,015625

8

0,125

1,46875

7

0,0078125

13

0,1015625

1,5703125

8

0,00390625

21

0,08203125

1,65234375

9

0,001953125

34

0,06640625

1,71875

10

0,000976563

55

0,053710938

1,772460938

11

0,000488281

89

0,043457031

1,815917969

12

0,000244141

144

0,03515625

1,851074219

13

0,00012207

233

0,028442383

1,879516602

14

6,10352E-05

377

0,023010254

1,902526855

15

3,05176E-05

610

0,018615723

1,921142578

16

1,52588E-05

987

0,015060425

1,936203003

17

7,62939E-06

1597

0,012184143

1,948387146

18

3,8147E-06

2584

0,009857178

1,958244324

19

1,90735E-06

4181

0,007974625

1,966218948

20

9,53674E-07

6765

0,006451607

1,972670555

21

4,76837E-07

10946

0,00521946

1,977890015

22

2,38419E-07

17711

0,004222631

1,982112646

23

1,19209E-07

28657

0,003416181

1,985528827

24

5,96046E-08

46368

0,002763748

1,988292575

25

2,98023E-08

75025

0,002235919

1,990528494

26

1,49012E-08

121393

0,001808897

1,992337391

27

7,45058E-09

196418

0,001463428

1,993800819

28

3,72529E-09

317811

0,001183938

1,994984757

29

1,86265E-09

514229

0,000957826

1,995942583

30

9,31323E-10

832040

0,000774898

1,996717481

31

4,65661E-10

1346269

0,000626905

1,997344386

32

2,32831E-10

2178309

0,000507177

1,997851563

33

1,16415E-10

3524578

0,000410315

1,998261878

34

5,82077E-11

5702887

0,000331952

1,99859383

35

2,91038E-11

9227465

0,000268555

1,998862385

36

1,45519E-11

1,5E+07

0,000217265

1,99907965

37

7,27596E-12

2,4E+07

0,000175771

1,999255421

38

3,63798E-12

3,9E+07

0,000142202

1,999397623

39

1,81899E-12

6,3E+07

0,000115044

1,999512667

40

9,09495E-13

1E+08

9,30724E-05

1,999605739

41

4,54747E-13

1,7E+08

7,52971E-05

1,999681036

42

2,27374E-13

2,7E+08

6,09167E-05

1,999741953

43

1,13687E-13

4,3E+08

4,92826E-05

1,999791236

44

5,68434E-14

7E+08

3,98705E-05

1,999831106

45

2,84217E-14

1,1E+09

3,22559E-05

1,999863362

46

1,42109E-14

1,8E+09

2,60956E-05

1,999889457

47

7,10543E-15

3E+09

2,11118E-05

1,999910569

48

3,55271E-15

4,8E+09

1,70798E-05

1,999927649

49

1,77636E-15

7,8E+09

1,38178E-05

1,999941467

50

8,88178E-16

1,3E+10

1,11789E-05

1,999952646

 

Ternyata nilainya mendekati 2.

Dan memang barisan tersebut akan konvergen ke 2.

 

(1) \frac{1}{2}+(1) \frac{1}{4}+(2) \frac{1}{8}+(3) \frac{1}{16}+(5) \frac{1}{32}+(8) \frac{1}{64}+(13) \frac{1}{128}+(21) \frac{1}{256}+ \dots

 

Akan konvergen ke 2.

 

Tulisan Terbaru :

 

Iklan
Kategori:analisis Tag:
  1. Belum ada komentar.
  1. 25 November 2015 pukul 7:38 PM

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: