Beranda > kalkulus, sekolah menengah atas > Merubah pecahan biasa menjadi pecahan bagian

Merubah pecahan biasa menjadi pecahan bagian

  

Merubah pecahan biasa menjadi pecahan bagian (penjumlahan pecahan yang lebih sederhana). Bagaimana cara merubah pecahan biasa menjadi penjumlahan pecahan yang lebih sederhana? Khususnya pada pecahan rasional.

Ini sering digunakan untuk mencari suatu integral, mencari limit, maupun mencari yang lainnya. Merubah pecahan biasa menjadi bentuk penjumlahan beberapa pecahan yang lebih sederhana misalnya :


\frac{1}{18}= \frac{-4}{9}+\frac{1}{2}

 

Gak percaya! Mari kita hitung. \frac{-4}{9}+\frac{1}{2}= \frac{-4(2)+9}{18}= \frac{1}{18}


Lalu, bagaimana cara mendapatkannya. Untuk bilangan yang sederhana, tentu ini bisa dilakukan dengan mencoba-coba. Cara yang digunakan sebenarnya cukup sederhana. Seperti berikut ini :


Kita ingin menuliskan \frac{1}{18} menjadi penjumlahan 2 pecahan dengan penyebut masing-masing adalah 2 dan 9. Dengan pemisalan, misalkan dua pecahan tersebut adalah


\frac{A}{9}+\frac{B}{2}

 

Dan tugas kita sekarang adalah mencari A dan B yang memenuhi. Dengan cara menyamakan penyebutnya kemudian melakukan penjumlahan biasa seperti pada penjumlahan pecahan yang biasa.

Dengan menyamakan penyebut, kita peroleh i :


\frac{A(2)}{18} + \frac{B(9)}{18}= \frac{2A+9B}{18}

 

Sekarang kita samakan dengan pecahan semula.


\frac{1}{18}= \frac{2A+9B}{18}

 

Dua pecahan dikatakan sama, jika penyebutnya sama, maka pembilangnya harus sama. Sehingga kita peroleh persamaan 2A+9B=1. Kemudian kita cari untuk suatu nilai A berapa dan B berapa yang memenuhi persamaan ini. Persamaan ini mempunyai 2 variabel, dan persamaannya hanya ada satu. Sehingga kemungkinan jawabannya sangat banyak sekali.

Beberapa kemungkinan jawabannya adalah


B A
1 -4
2 -17/2
3 -13
-1 5


Akan sangat banyak jawaban. Di sini kita menghindari A=0 atau B=0. Karena akan sama saja dengan penyederhanaan pecahan.

Sehingga bentuk yang tadi hanya berupa pecahan biasa, kini bisa dituliskan menjadi junlah 2 pecahan atau lebih.


\frac{1}{18}= \frac{-4}{9}+\frac{1}{2}

\frac{1}{18}= \frac{-13}{9}+\frac{3}{2}

\frac{1}{18}= \frac{5}{9}+\frac{-1}{2}


Tentu masih banyak yang lain.



Permasalah pada fungsi rasional

Bagaimana menyelesaikan ini :  \int \limits_{0}^{1} \, \frac{1}{x(x+1)} \, dx


Penyelesaian bentuk integral fungsi rasional, akan mudah dilakukan dengan memecah pecahan itu menjadi penjumlahan beberapa pecahan. Konsep untuk memecah fungsi rasional tersebut menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional yang lebih sederhana yaitu sama dengan konsep di atas.


Bentuk \frac{1}{x(x+1)} akan mudah dikerjakan jika kita pevah menjadi 2. Cara merubah ke pecahan bagiannya sama seperti sebelumnya, yaitu dengan menggunakan pemisalan, seperti berikut :


\frac{1}{x(x+1)}= \frac{a}{x}+ \frac{b}{x+1}


Sekarang kita cari a dan b dengan menyelesaikan bentuk ini dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.


\frac{a}{x}+ \frac{b}{x+1}

\qquad = \frac{a(x+1)}{x(x+1)}+ \frac{bx}{x(x+1)}

\qquad = \frac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}

\qquad = \frac{ax+a+bx}{x(x+1)}

\qquad = \frac{ax+bx+a}{x(x+1)}

\qquad = \frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}


Sekarang kita samakan pembilanya.


\frac{1}{x(x+1)}= \frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}

\frac{0x+1}{x(x+1)}= \frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}


Sehingga diperoleh a=1 dan $latex a+b=0. Sehingga diperoleh nilai b yaitu b=-a=-1. Jadi, bentuk fungsi rasional itu bisa dituliskan menjadi jumlah dua fungsi rasional yang lebih sederhana, yaitu :


\frac{1}{x(x+1)}= \frac{1}{x}+ \frac{-1}{x+1}


Dengan demikian, untuk mencari integralnya akan semakin mudah, yaitu :


\int \limits_{0}^{1} \, \frac{1}{x} \, dx + \int \limits_{0}^{1} \, \frac{-1}{x+1} \, dx

 

Ingat! integral 1/x adalah ln \, x


Memecah suatu fungsi rasional menjadi beberapa penjumlahan fungsi rasional itu akan sering digunakan di integral. Tetapi juga digunakan di persamaan differensial maupun matematika yang lain. Jadi, ingat konsepnya ya.


Bagaimana kalau penyebutnya bukan linear (bagaimana kalau penyebutnya mengandung unsur kuadrat)?

Berikut  adalah bentuk-bentuk umumnya dan pemisalannya :


\frac{1}{(kx+l)(mx+n)}= \frac{a}{kx+l} + \frac{b}{mx+n}

\frac{1}{x^2(mx+n)}= \frac{ax+b}{x^2} + \frac{c}{mx+n}

\frac{1}{(kx^2+lx+m)(nx^2+ox+p)}= \frac{ax+b}{kx^2+lx+m} + \frac{cx+d}{nx^2+ox+p}

\frac{1}{x^3(mx+n)}= \frac{ax^2+bx+c}{x^3} + \frac{d}{mx+n}


Sebagian bentuk-bentuk tersebut bisa juga dipersingkat seperti berikut ini :


\frac{1}{x^2(mx+n)}= \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{mx+n}

\frac{1}{x^3(mx+n)}= \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3} + \frac{d}{mx+n}


Dalam mencari a, b, c, d dan sebagainya. Dapat dicari dengan menggunakan sistem persamaan. Nanti akan bertemu dengan SPLDV (sistem persamaan linear dua variabel), SPLTV (sistem persamaan linear tiga variabel), bahkan sampai SPLEV (sistem persamaan linear empat variabel) dan sebagainya.

Cara mencarinya bisa menggunakan eliminasi, substitusi, eliminasi dan substitusi, matriks (operasi baris dasar), maupun dengan aturan cramer. Banyak cara mencarinya.


Tulisan Terbaru :

 

Iklan
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: