Beranda > olimpiade, tips math > Teknik mengerjakan soal yang mengandung beberapa angka berulang

Teknik mengerjakan soal yang mengandung beberapa angka berulang

 

Berapakah bentuk sederhana dari

 

\frac{199...99}{99...995}

 

Dengan banyaknya angka 9 pada pembilangan adalah sama dengan banyaknya angka 9 pada penyebut yaitu sebanyak 2011.

Tentunya setiap orang bisa menggunakan cara yang berbeda.


Teknik I

Kita bisa menggunakan sedikit trik. Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi bentuk


\frac{2 \times 10^{2011}-1}{10 \times 10^{2011}-5}


Dan tentu saja, dengan mengeluarkan 5 pada penyebut, maka diperoleh :


\frac{2 \times 10^{2011}-1}{5(2 \times 10^{2011}-1)}


= \frac{1}{5}



Teknik II

Ini adalah teknik umum dan akan sering kita gunakan untuk pembuktian yang menyangkut suatu bilangan dengan angka yang berulang adalah sama. Seperti contoh tersebut.


\frac{199...99}{99...995}


Bentuk tersebut bisa kita tuliskan menjadi bentuk


\frac{10^{2011}+9(11...11)}{90(11...11)+5}


Banyaknya angka 1 berulang adalah sebanyak 2011

Sekarang kita perhatikan angka 1 berulang yang ada di dalam kurung. Bentuk tersebut sama dengan


\frac{10^{2011}-1}{9}


Konsepnya sebenarnya ada pada deret geometri. Berikut :


11...11=10^{2010}+10^{2009}+...+10+1


Deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 10. Ingat jumlah deret geometri, menggunakan rumus S_n untuk deret geometri, sehingga diperoleh bentuk tersebut sama dengan


11...11= \frac{10^{2011}-1}{9}


Perhatikan bentuk yang kita peroleh tadi di awal


\frac{10^{2011}+9(11...11)}{90(11...11)+5}


\frac{10^{2011}+9( \frac{10^{2011}-1}{9})}{90( \frac{10^{2011}-1}{9})+5}


\frac{2 \times 10^{2011}-1}{10 \times 10^{2011}-5}


Dan tentu saja, dengan mengeluarkan 5 pada penyebut, maka diperoleh :


\frac{2 \times 10^{2011}-1}{5(2 \times 10^{2011}-1)}


= \frac{1}{5}



Teknik kedua ini akan sering kita gunakan dalam penyelesaian-penyelesaian mengenai bentuk-bentuk seperti ini.


Sebagai latihan, carilah bentuk sederhana dari :


\frac{177...77}{88...885}


\frac{155...55}{77...775}


\frac{133...33}{66...665}


\frac{499...99}{99...998}


\frac{166...66}{66...664}



Carilah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{44...44}

dengan angka 4 sebanyak 2012


Tulisan Terbaru :

Iklan
Kategori:olimpiade, tips math
  1. Henry
    7 Agustus 2011 pukul 11:50 PM

    ituloh yg teknik kedua…yg bentuk tersebut bisa kita tuliskan dalam bentuk……….. nah itu sy ga ngerti notasi apa ya bs tlg dijelaskan ?

    lalu kalimat berikut “Banyaknya angka 1 berulang adalah sebanyak 2011

    Sekarang kita perhatikan angka 1 berulang yang ada di dalam kurung. Bentuk tersebut sama dengan”

    Darimana ada angka 1 berulang ? bukan nya angka berulang nya adalah angka 9 ?? duh koq sy jd bingung yah ? hehe

  2. Henry
    6 Agustus 2011 pukul 4:47 PM

    Mksdnya n(blabla,blabla) itu apa ya ? makasih

    • 6 Agustus 2011 pukul 7:46 PM

      pada kata-kata yang mana ya?

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: