Arsip

Archive for the ‘kalkulus’ Category

Kepadatan (Bilangan Real)

25 November 2015 Tinggalkan komentar

Tuliskan semua bilangan asli di antara 1 dan 10. Tentu saja kita akan menuliskan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Tuliskan semua bilangan asli di antara 1 dan 3. Tentu saja kita akan menuliskan 2. Lalu bagaimana dengan, tuliskan semua bilangan asli di antara 1 dan 2. ??? ??? Berapa? Tidak ada. Yah, tidak ada bilangan asli di antara 1 dan 2. Itu untuk bilangan asli.

Bagaimana dengan Bilangan Real? Baca selanjutnya…

Iklan

Hiperbola

9 September 2011 6 komentar

  

Bagi pembaca yang ingin belajar hiperbola, terlebih dahulu harus mengetahui tentang ellips. Karena hiperbola dan ellips ini sangat erat hubungannya, khususnya pada bentuk persamaannya. Parabola, hiperbola dan ellips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut.

Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya tidak secara vertikal, maka terbentuk suatu parabola. Baca selanjutnya…

Merubah pecahan biasa menjadi pecahan bagian

  

Merubah pecahan biasa menjadi pecahan bagian (penjumlahan pecahan yang lebih sederhana). Bagaimana cara merubah pecahan biasa menjadi penjumlahan pecahan yang lebih sederhana? Khususnya pada pecahan rasional.

Ini sering digunakan untuk mencari suatu integral, mencari limit, maupun mencari yang lainnya. Merubah pecahan biasa menjadi bentuk penjumlahan beberapa pecahan yang lebih sederhana misalnya : Baca selanjutnya…

5 persamaan grafik dan perbedaannya

7 Maret 2011 4 komentar

 

Akan kita bahas di sini adalah persamaan suatu kurva. Persamaan suatu garis lurus maupun lengkung. Antara lain yaitu, persamaan garis lurus, persamaan parabola, persamaan lingkaran, persamaan ellips dan persamaan hiperbola. Apa sih perbedaan dari 5 persamaan garis tersebut?

Dari kelima persamaan itu akan kita tuliskan bentuk secara umum, yaitu Baca selanjutnya…

Kategori:kalkulus

Fungsi Rasional dan Asimtot

12 Januari 2011 9 komentar

Apa itu fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk \frac{g(x)}{h(x)}, dimana g(x) dan h(x)  adalah suatu fungsi polynomial. Dan h(x) bukan nol. Domain dari fungsi polynomial ini adalah semua nilai x bilangan real kecuali nilai x yang mengakibatkan h(x)=0.

Contoh fungsi rasional,  f(x)= \frac{2x}{4-x}

Fungsi tersebut adalah fungsi rasional. Dengan penyebut suatu fungsi polynomial yang bisa sama dengan nol. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali suatu nilai x yang menyebabkan penyebut bernilai nol. Domainnya seluruh bilangan real, kecuali 4-x=0, kecuali x=4.

 

Karena untuk x=4, maka akan terjadi pembagian dengan nol. Ini akan menyalahi aturan. Lalu, gambar fungsinya adalah sebagai berikut.

 

 

Perhatikan gambar grafik tersebut. Gambar grafik tersebut untuk x=3,9 maka nilai y yang memenuhi adalah sangat besar. Dan untuk x=3,99999 \dots , nilai dari y juga akan mendekati tak hingga. Untuk nilai x=4,1 juga demikian. Nilainya akan semakin mendekati minus tak hingga jika nilai x=4,000000000 \dots 001.

 

Inilah yang akan ada hubungan dengan asimtot. Garis x=4, ini disebut sebagai asimtot tegak (vertical asymptote) untuk gambar grafik ini. Dan garis y=-2 yang didekati oleh kurva menuju tak hingga, juga merupakan asimtot, yaitu asimtot datar. Jika mengetahui gambar grafiknya, kita akan sangat mudah untuk menentukan asimtotnya, bagaimana kalau tidak diketahui gambar grafiknya? Apakah kita harus menggambarnya dulu atau bagaimana?

 

Untuk mencari asimtot tegak, yang harus kita perhatikan adalah penyebut dari fungsi rasional tersebut. Ingat!Mencari asimtot tegak untuk fungsi yang di atas, kita tiggal membuat penyebutnya sama dengan nol. Tetapi ingat, beberapa fungsi rasional memang tidak mempunyai asimtot tegak. Misalnya saja suatu fungsi rasional yang mempunyai penyebut x^2+4, bentuk ini tidak mungkin sama dengan nol. Sehingga suatu fungsi rasional yang berpenyebut seperti ini (atau yang lain, yang tidak bisa sama dengan nol), tidak akan mempunyai asimtot tegak.

 

Untuk mencari asimtot datar (horizontal asymptote), Perhatikan aturan berikut :

Pertama, Jika pangkat tertinggi pada pada pembilang sama dengan pangkat tertinggi pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di garis y sama dengan koefisien pangkat tertinggi pembilang per koefisien pangkat tertinggi penyebut.

Secara umum, jika fungsinya adalah f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^m+qx^{m-1}+\dots+u},

maka asimtot datarnya ada di y= \frac{a}{p}

dengan m adalah pangkat teetinggi dari kedua polynomial tersebut. (polynomial sebagai pembilang dan polynomial sebagai penyebut)

Misalnya, asimtot datar dari fungsi rasional berikut ini

f(x)= \frac{4x^3+2x-2}{2x^3-2x^2+5x-1}

Asimtot datarnya adalah y= \frac{4}{2}=2

Kedua, jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di y=0

Secara umum, jika fungsinya adalah f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^n+qx^{n-1}+\dots+u}, dengan m<n

maka asimtot datarnya ada di y=0

Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka tidak ada asimtot datar. Ingat!

 

Asimtot miring (oblique asymptote atau slant asymptote) bisa didapatkan untuk kasus yang terakhir ini.

Misalnya saja fungsi berikut ini :

f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}

Untuk mencari asimtot dari grafik tersebut, maka lakukan pembagian antara pembilang dan penyebut. Akan ada hasil pembagian dan sisa, seperti berikut :

f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}= (2x+1)+ \frac{1}{x-2}

Sekarang bisa kita lihat, ketika x menuju tak hingga, maka \frac{1}{x-2} menuju nol.

Dan nilai f(x) sama dengan 2x+1. Inilah yang bisa menyimpulkan bahwa, grafik kurva pada soal, akan mendekati garis y=2x+1 ketika x menuju tak hingga.

Asimtot miringnya pun didapatkan yaitu y=2x+1,

Ingat, tidak ada asimtot datar.

 

Asimtot tegak ada di x=2, karena nilai inilah yang menyebabkan penyebut sama dengan nol.

Seperti pada gambar berikut :

 

 

Asimtot datar tidak ada ketika pangkat terbesar dari pembilang lebih besar dari pangkat terbesar dari penyebut. Ingat. Sehingga ini menyebabkan, tidak mungkin adanya suatu fungsi yang mempunyai asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan.

 

Tulisan Terbaru :

Penerapan turunan

29 Oktober 2010 2 komentar

 

Cukup banyak penerapan dari suatu turunan. Beberapa akan dituliskan di bawah ini. Salah satunya yaitu untuk menentukan suatu maksimum dan minimum. Menentukan nilai maksimum, menentukan titik puncak, menentukan kecekungan, dan lain-lain. Baca selanjutnya…

Kategori:kalkulus

Fungsi invers atau fungsi balikan

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan A.

 

Gambar. Sebuah fungsi fdan inversnya f^{-1}.

 

Jika sebuah input x dimasukkan ke dalam fungsi f menghasilkan sebuah output y, y kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers f^{-1}  menghasilkan output x. f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan X, dan kodomainnya adalah himpunan Y. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi f adalah f^{-1}  dengan domain Y dan kodomain X, dengan aturan. Baca selanjutnya…

Kategori:kalkulus