Arsip

Archive for the ‘kombinatorik’ Category

Banyaknya cara berjalan dari A ke B

12 April 2011 1 komentar

 

Banyak sekali tipe soal kombinatorika. Termasuk yang satu ini :

 

Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Konsep dasar kombinatorik

18 Maret 2011 1 komentar

 

Kombinatorika adalah pelajaran yang bisa dikatakan susah-susah gampang. Pelajaran mengenai suatu hal yang berhubungan dengan kemungkinan-kemungkinan, banyaknya cara, dan juga bisa menuju ke peluang suatu kejadian. Kemungkinan-kemungkinan itulah yang akan kita hitung dengan aturan-aturan kombinatorika.

Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Jumlah angka dari n! (n lebih besar dari 5)

13 Desember 2010 2 komentar

 

Istilah faktorial baru kita kenal di SMA. Bagi, yang belum mengenal tentang faktorial itu apa, perhatikan definisinya sebagai berikut :

n! (baca : n faktorial), untuk n bilangan cacah, yaitu perkalian dari semua bilangan asli yang lebih kecil atau sama dengan n, bisa dituliskan : Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Jumlah angka dari n! merupakan kelipatan 3

13 Desember 2010 Tinggalkan komentar

 

Secara lengkapnya, jumlah angka-angka dari bilangan n! (untuk n lebih besar dari 2) merupakan kelipatan 3. Ini kami dapatkan ketika kami mencari jumlah angka-angka dari bilangan 100!. Meskipun sebenarnya hal ini adalah hal yang mendasar dan sangat mudah. Perhatikan saja untuk beberapa bilangan n! berikut  Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Nilai yang sama pada kombinasi

18 November 2010 Tinggalkan komentar

 

Mengingat mengenai kombinasi, kita juga ingat mengenai permutasi. Tentu kita sudah tahu arti dari kombinasi dan arti dari permutasi. Perbedaannya juga kita sudah mengetahuinya. Rumus untuk combinasi dan permutasi pun sebagai berikut:

Rumus untuk permutasi Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Suatu bentuk penjumlahan kombinasi yang sama artinya dengan kombinasi

 

Kita tentunya mengetahui tentang simbol kombinasi. Biasanya ditulis dalan C dengan menggunakan huruf besar. Kombinasi itu sendiri sama dengan

 

C_r^n= \frac{n!}{r!(n-r)!}

 

Ini adalah bentuk suatu kombinasi yang sudah kita kenal sejak kita masih SMA. Bentuk tersebut ternyata bisa kita jabarkan menjadi bentuk berikut :

 

C_r^n=C_{r-1}^{n-1}+C_r^{n-1}

 

Untuk membuktikannya, perhatikan berikut ini :

 

C_n^r= \frac{n!}{r!(n-r)!}= \frac{(n-1)!n}{r!(n-r)!}

C_n^r= \frac{(n-1)!(n-r)}{r!(n-r)!}+ \frac{(n-1)!r}{r!(n-r)!}

C_n^r= \frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}+ \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}

C_r^n=C_{r-1}^{n-1}+C_r^{n-1}

 

Terbukti.

 

Bentuk ini sebaiknya dipahami. Karena ada beberapa soal-soal yang menggunakan bentuk ini akan terasa lebih mudah.

 

Tulisan Terbaru :

 

 

Kategori:kombinatorik

Banyaknya permutasi sama dengan k! dikalikan banyaknya kombinasi

5 Oktober 2010 1 komentar

Ini adalah hal yang sederhana tetapi mungkin jarang ada yang memahaminya. Bahwa banyaknya permutasi itu sama dengan k! dikalikan dengan banyaknya kombinasi.

 

Misalnya untuk {}_3P_2 dan {}_3C_2

 

Nilai dari permutasinya adalah

 

{}_3P_2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 6

 

Nilai dari kombinasinya adalah

 

{}_3C_2 = \frac{3!}{(3-2)!2!} =3

 

Perhatikan bahwa banyaknya permutasinya sama dengan 2! dikalikan dengan banyaknya kombinasinya.

Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Prinsip rumah burung (The Pigeonhole Principle)

Prinsip rumah burung (The Pigeonhole Principle)

 

Prinsip rumah burung menyatakan bahwa :

 

“Jika ada k+1 benda dan diletakkan di k tempat, maka akan ada satu tempat dengan 2 benda atau lebih di dalamnya”

 

Prinsip rumah burung ini digunakan untuk berbagai macam permasalah pada kombinatorik.

 

 

Misalnya contoh berikut ini :

 

Pada suatu lemari pakaian ada 3 pasang kaos kaki berwarna merah, 2 pasang kaos kaki berwarna putih dan 1 pasang kaos kaki berwarna hitam. Pada saat mati lampu dan dengan keadaan terburu-buru. Kita diharuskan untuk  mengambil/memakai kaos kaki dengan warna yang sama. Ingat, satu pasang ada 2 kaos kaki. Permasalahnnya, berapa minimal kaos kaki yang harus kita ambil supaya mendapatkan 2 kaos kaki (1 pasang) dengan warna yang sama?

 

Dengan menggunakan prinsip rumah burung, kita dengan mudah bisa menyelesaikan pernasalahan ini. Yang kita inginkan adalah mendapatkan 2 kaos kaki berwarna sama. Dan ada 3 macam kaos kaki warna berbeda.

Prinsip rumah burung mengatakan : Jika ada k + 1 benda dan diletakkan di k tempat, maka akan ada satu tempat dengan 2 benda atau lebih di dalamnya.

 

Sehingga, kita harus mengambil minimal jumlah kaos kaki adalah 4 buah.

Dari 4 buah kaos kaki. Pasti ada satu pasang kaos kaki berwarna sama. Karena macam warnanya hanya ada 3 macam saja.

 

Peluangnya bisa dituliskan

 

1 merah, 1 putih, 2 hitam

2 merah, 1 putih, 1 hitam

1 merah, 2 putih, 1 hitam

 

Jadi, pasti ada 2 kaos kaki berwarna sama hanya dengan mengambil 4 buah kaos kaki.

 

 

Tulisan terbaru :

 

 

Kategori:kombinatorik

Tripelfaktorials

1 Juni 2010 4 komentar

 

Sama halnya dengan multifaktorial. Tripelfaktorial adalah hasil kali beberapa bilangan bulat dalam tiga factorial (n!!!)

 

Definisi


n!!! = 1 ,   untuk n=0 atau n=1 atau n = 2;

n!!! = n(n-3)!!! ,   untuk n > 2

 

Beberapa contohnya yaitu sebagai berikut Baca selengkapnya…

Superfaktorial

Superfaktorial dari n ditulis n$ (notasi dari $ adalah huruf  s yang dicoret dengan garis vertikal atau ditimpa (superimposed) dengan notasi !)

didefinisikan sebagai  Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Hiperfaktorial

 

Bentuk pangkat adalah bentuk perkalian berulang. Dan tentunya kita sudah mengenl tentang pangkat. Berikut ini adalah pengetahuan tentang hubungannya pangkat lebih dalam.

 

Perhatikan bilangan-bilangan pangkat berikut ini : Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik

Prinsip rumah burung

 

Jika ada 6 burung yang ditempatkan dalam 5 rumah, maka salah satu rumah pasti ditempati oleh lebih dari satu burung. Ini adalah prinsip sederhana yang disebut prinsip rumah burung. Dengan prinsip ini kita dapat menyimpulkan hal berikut ini

 

Dalam satu kelas yang terdiri dari 32 murid, maka ada murid yang ulang tahun dengan tanggal yang sama.

 

Diantara 13 murid, selalu ada dua murid yang mempunyai bulan lahir yang sama

 

Di Surabaya ada sedikitnya dua orang yang mempunyai tinggi badan yang sama (dalam satuan centimeter)

 

Di Maluku ada sedikitnya dua orang yang mempunyai berat badan yang sama (dalam satuan kilogram)

 

 

Prinsip ini secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut

 

“jika ada barang dengan jumlaj lebih dari n dan ditempatkan pada n kotak, maka ada satu kotak atau lebih yang berisi lebih dari satu benda”.

 

Contoh :

Dari bilangan bulat 1, 2, 3, 4, 5, …, 200.

Kita pilih 101 bilangan. Perlihatkan bahwa dari 101 bilangan yang kita pilih ada dua bilangan yang satu habis dibagi dengan yang lainnya?

 

Jawaban :

Kita tuliskan bilangan bulat 1, 2, 3, 4, 5, …, 200 dalam bentuk 2^k.a

Dengan a bilangan bulat ganjil dan k lebih besar atau sama dengan nol terbesar dari yang mungkin.

 

Contohnya :

50 = 2.25

36 = 2^2.9

 

Perhatikan bahwa dari 1, 2, 3, 4, 5, …, 200.  Maka nilai a yang mungkin adalah bilangan-bilangan ganjil di 1, 2, 3, 4, 5, …, 200. yaitu 1, 3, 5, …,199 sebanyak 100 bilangan.

 

Sekarang kita telah memilih 101 bilangan. Maka pasti akan ada dua bilangan yang mempunyai a yang sama.

Ingat kembali prinsip rumah burung. Misalkan bilangan tersebut adalah 2^p.a dan 2^q.a, dengan p < q. Ini mengakibatkan bilangan kedua habis dibagi oleh bilangan pertama.

 

Kita telah memperlihatkan bahwa dari 101 bilangan yang kita pilih ada dua bilangan yang satu habis dibagi dengan yang lainnya.

Prinsip rumah burung ini sering digunakan di dalam soal-soal olimpiade. Untuk lebih mudah memahaminya, perhatikan kalimat berikut ini.

 

“jika diketahui tersedia rumah burung sebanyak n dan ada n + 1 burung, maka salah satu dari rumah tersebut terdiri lebih dari satu burung”

 

Contoh :

Seorang tukang listrik harus mengambil sekering listrik yang terdiri dari sekering 15A dan 20A tanpa dapat memilih. Dalam satu kali ambil, ia menginginkan ada dua sekering yang mempunyai ukuran yang sama besar. Tentukan jumlah yang harus diambil seorang tukang listrik tersebut?

 

Jawab :

Misalnya pak tukang tersebut mengambil hanya dua biji sekering, maka kemungkinan-kemungkinannya adalah

Dua biji 15A dan tidak ada 20A

Dua biji 20A dan tidak ada 15A

1 biji 15A dan 1 biji 20A.

Padahal yang diinginkan pak tukang adalah dua biji dengan ukuran yang sama. Ketika mengambil dua, maka masih ada kemungkinan bahwa yang diambil itu adalah 1 berukuran 15A dan yang satu lagi berukuran 20A.

Sehingga pak tukang sedikitnya harus mengambil 3 buah sekering.

 

Kemungkinan-kemungkinannya yaitu

 

2 biji berukuran 15A dan 1 biji berukuran 20A

1 biji berukuran 15A dan 2 biji berukuran 20A

3 biji berukuran 15A

3 biji berukuran 20A

 

Tulisan terbaru :

 

Kategori:kombinatorik

Perbedaan permutasi dan kombinasi dan tentang permutasi siklis

19 Mei 2010 2 komentar

   

Permutasi adalah susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya.

Sedangkan kombinasi adalah susunan n unsur berbeda dengan tidak memperhatikan urutan.

Baca selengkapnya…

Kategori:kombinatorik, peluang