Penjual Mobil Bekas dan Pembeli (Tawar Menawar)

Beranda > deret, problem pengunjung, soal math > Penjual Mobil Bekas dan Pembeli (Tawar Menawar)

Penjual Mobil Bekas dan Pembeli (Tawar Menawar)

6 Desember 2015 msihabudin Tinggalkan komentar Go to comments

Penawaran Pertama
Si Penjual menjual mobil bekas dengan harga 75.000.000. Pembeli menawar 40.000.000

(Penjual melakukan perhitungan untuk penawaran selanjutnya :
75.000.000 – 40.000.000 = 35.000.000, kemudian membagi 2, yaitu 35.000.000 : 2 = 17.500.000
75.000.000 – 17.500.000 = 57.500.000)

Penawaran Kedua, akhirnya penjual menawarkan dengan harga 57.500.000

(Pembeli melakukan perhitungan untuk menawar harga :
57.500.000 – 40.000.000 = 17.500.000, kemudian membagi 2, yaitu 17.500.000 : 2 = 8.750.000
40.000.000 + 8.750.000 = 48.750.000)

Dan si Pembeli (di penawaran kedua), menawar sebesar 48.750.000

Teruskan Proses di atas, sehingga tercapai harga kesepakatan sampai perseribuan terdekat

Kalo kita teruskan proses tersebut,

Penawaran ke-	Penjual	Pembeli
1	75000000	40000000
2	57500000	48750000
3	53125000	50937500
4	52031250	51484375
5	51757812.5	51621093.75
6	51689453.13	51655273.44
7	51672363.28	51663818.36
8	51668090.82	51665954.59
9	51667022.71	51666488.65
10	51666755.68	51666622.16
11	51666688.92	51666655.54
…	…	…

Misalkan $x_n$ adalah jual di penawaran ke n
Dan $y_n$ adalah beli di penawaran ke n

$x_1=75000000$
$y_1=40000000$

$x_2=x_1-( \frac{x_1-y_1}{2})= \frac{x_1+y_1}{2}$
$y_2=y_1+( \frac{x_2-x_1}{2})= \frac{x_2+y_1}{2}$

Atau

$x_n=x_{n-1}-( \frac{x_{n-1}-y_{n-1}}{2})= \frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2}$
$y_n=y_{n-1}+( \frac{x_n-y_{n-1}}{2})= \frac{x_n+y_{n-1}}{2}$

Dengan $n=2, 3, 4, \cdots$

Selisih harga penawaran dan tawaran

$x_2-y_2=\frac{x_2+y_1}{2}-\frac{x_1+y_1}{2}=\frac{x_2-x_1}{2}$

Atau

$x_n-y_n=\frac{x_n-x_{n-1}}{2}$

Untuk $n=2, 3, 4, \cdots$

Karena

$x_2=x_1-( \frac{x_1-y_1}{2})= \frac{x_1+y_1}{2}$
$y_2=y_1+( \frac{x_2-x_1}{2})= \frac{x_2+y_1}{2}$

Maka bentuk $y_2$ bisa kita ubah menjadi

$y_2=\frac{3x_2-x_1}{2}$

Persamaan tersebut dapat dibawa ke barisan rekursif, yaitu

$a_n=a_{n-1}- \frac{d}{2^{2n-3}}$

Dengan, $n=2,3,4,\cdots$
d = selisih harga mobil awal penjual dengan penawaran awal si pembeli
dan $a_1 = 75000000$

Sehingga

$a_2=a_1-\frac{d}{2}$
$a_3=a_1-\frac{d}{2}-\frac{d}{8}$
$a_4=a_1-\frac{d}{2}-\frac{d}{8}-\frac{d}{32}$
$a_5=a_1-\frac{d}{2}-\frac{d}{8}-\frac{d}{32}-\frac{d}{128}$

Atau

$a_5=a_1-d(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{128})$

Perhatikan yang di dalam kurung adalah barisan geometri dengan suku pertama ½ dan r = ¼
Sehingga

$a_5=a_1-d(\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^{4})}{1-\frac{1}{4}})$

Atau

$a_n=a_1-d(\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^{n-1})}{1-\frac{1}{4}})$
$a_n=a_1-\frac{2}{3}d(1-(\frac{1}{4})^{n-1})$

(Ingat rumus deret geometri)

Ingat! Di sini $a_n=x_n$

Perhatikan bentuk

$a_n=a_1-\frac{2}{3}d(1-(\frac{1}{4})^{n-1})$

Perhatikan yang ada di dalam tanda kurung!

$(1-(\frac{1}{4})^{n-1})$

Tawar menawar berlangsung terus menerus, artinya, nilai n bertambah besar

Sehingga untuk n yang bertambah besar, nilai $(1-(\frac{1}{4})^{n-1})$ akan menuju 1

atau

$\lim \limits_{x \to \infty} (1-(\frac{1}{4})^{n-1}) =1$

Sehingga untuk n yang nilainya cukup besar / besar, bentuk

$a_n=a_1-\frac{2}{3}d(1-(\frac{1}{4})^{n-1})$

bisa kita tulis

$a_n=a_1-\frac{2}{3}d$

$d=a_1-y_1$

Akhirnya,

$a_n=\frac{a_1+2y_1}{3}$

atau

$3a_n=a_1+2y_1$

Syarat

Tentu saja di sini $a_1>y_1$ , mengapa? Mana mungkin si pembeli menawar dengan harga yang lebih tinggi dari pada harga yang ditawarkan penjual.
Dan $a_1$ tidak boleh melebihi $3a_n$ , yaitu $a_1<3a_n$ . Tentu saja karena $a_1$ dan $y_1$ ini tidak boleh negatif.
Dan juga $y_1$ tidak boleh melebihi $a_n$ . Kenapa? Mana mungkin penawaran lebih besar dari pada harga kesepakatan.

Kasus I

Tentukan harga penawaran awal yang seharusnya ditawarkan oleh penjual sehingga harga kesepakatan adalah Rp 35000000 atau kurang. Temukan beberapa harga penawaran awal tersebut.

Kita punya bentuk $3a_n=a_1+2y_1$

maka

$3 \times 35000000=a_1+2y_1$

$105000000=a_1+2y_1$

Karena ada 1 persamaan dengan 2 variabel, maka akan ada banyak kemungkinan jawaban, yaitu

beberapa nilai $a_1$ dan $y_1$ .

1. Jika harga yang ditawarkan penjual adalah $a_1=75000000$ , maka

$105000000=75000000+2y_1$

$2y_1=30000000$

$y_1=15000000$ ,

Pembeli harus menawar dengan harga $y_1=15000000$ . Supaya terjadi kesepakatan harga sebesar 35000000

$105000000=a_1+2y_1$

2. Kita bisa menggunakan harga jual awal berapapun dengan syarat, $a_1>35000000$ dan $a_1<3 \times 35000000$ (perhatikan syarat di atas).

atau $35000000<a_1<105000000$

Dan tentu saja, penawaran si pembeli harus sesuai dengan perhitungan rumus tersebut, sehingga diperoleh harga kesepakatatan sebesar 35000000.

Beberapa contoh jawaban :

$a_1$	$y_1$
35000000	35000000
40000000	32500000
45000000	30000000
50000000	27500000
55000000	25000000
60000000	22500000
65000000	20000000
70000000	17500000
75000000	15000000
80000000	12500000
85000000	10000000
90000000	7500000
95000000	5000000
100000000	2500000
105000000	0