bilangan habis dibagi | Asimtot's Blog

Arsip

Archive for the ‘bilangan habis dibagi’ Category

Ciri bilangan habis dibagi 7 (metode lain)

26 Mei 2012 msihabudin 2 komentar

Mungkin sudah banyak menemukan tulisan tentang ciri bilangan habis dibagi. Terutama di blog ini. Memang sempat membuat tulisan tentang ciri bilangan habis dibagi sebanyak-banyaknya. Dan ternyata ada yang ketinggalan, yaitu mengenai ciri bilangan habis dibagi 7, dengan metode yang bukan multiplier. Silahkan lihat pada postingan “Ciri bilangan habis dibagi 7” dengan metode multiplier.

Kali ini, ciri bilangan habis dibagi 7 menggunakan cara sebagai berikut :

Misalnya : 315 (kita tahu bahwa $315 = 7 \times 45$ )

Bagaimana kita mengeceknya : Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Bilangan yang habis dibagi oleh a-b

15 November 2010 msihabudin 2 komentar

Seringkali soal olimpiade dasar memunculkan soal habis dibagi. Beberapa soal-soalnya yaitu temukan sisa dari pembagian $23^{2011}-6^{2011}$ dibagi dengan $17$ . Tentunya jika kita sudah mengetahui sifatnya, maka kita dengan mudah bisa menjawabnya. Sisa hasil bagi itu adalah nol. Dengan kata lain, $17$ habis membagi $23^{2011}-6^{2011}.$

Bagaimana kita menhitungnya? Bagaimana kita menunjukkannya? Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri bilangan habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9

11 Oktober 2010 msihabudin 15 komentar

Tulisan ini juga bisa dilihat di msihabudin.wordpress.com

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 2

Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.

Contoh : Apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah $2k$ untuk sebarang $k$ bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu $2k-1$ untuk sebarang $k$ bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2.

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak $n$ digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10a_1 \times 10^{n-2} + 10a_2 \times 10^{n-3}) + \dots + 10a_{n-1} + a_n$

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}) + a_n$

Karena $10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1})$ habis dibagi $2$ , maka agar bilangan habis dibagi $2$ harusnya $a_n$ habis dibagi $2$ . Dimana $a_n$ adalah digit terakhir (satuan) dari angka kita. Sehingga ciri bilangan habis dibagi $2$ yaitu digit terakhirnya (satuannya) habis dibagi $2$ . Yaitu $0, 2, 4, 6, dan 8$ . Yang tidak lain merupakan bilangan genap.

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 3 Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Multiplier bilangan prima berakhiran 1 adalah bilangan prima itu tanpa digit satuan

6 September 2010 msihabudin Tinggalkan komentar

Misalnya saja yang sudah kita ketahui, yaitu multiplier dari 11. Multiplier dari 11 adalah 1. Menurut judul di atas, Multiplier bilangan prima berakhiran 1 adalah bilangan prima itu tanpa digit satuan. Bilangan 11 tanpa digit satuan adalah 1.

Lalu, bagaimana dengan bilang prima 31? Apakah multipliernya sama dengan 3? Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi, bilangan prima

Ciri bilangan habis dibagi 12, 14, 15, 18, 21, 22 dan 24 , dll

4 September 2010 msihabudin Tinggalkan komentar

Syarat atau ciri bilangan habis dibagi $(m \times n)$ adalah, bilangan tersebut harus habis dibagi m dan habis dibagi n. dengan m dan n mempunyai fpb 1.

Sehingga syarat bilangan habis dibagi 12, sama dengan syarat bilangan habis dibagi 4 dan syarat habis dibagi 3.

yaitu bilangan tersebut jika 2-angka terakhirnya habus dibagi 4, dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.. contoh : 111111111144
Karena 44 habis dibagi 4, dan jumlah angkanya habis dibagi , (18 habis dibagi 3).. jadi, 111111111144 habis dibagi 12

Syarat bilangan yang habis dibagi 3 adalah jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Dan syarat-syarat bilangan yang habis dibagi 4 adalah dua angka di belakang (puluhannya) harus habis dibagi 4. Sehingga syarat suatu bilangan habis dibagi 12 adalah bilangan puluhannya habis dibagi 4 dan jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 9

3 September 2010 msihabudin 8 komentar

Ciri atau syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.

Contoh : apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu $8+1+9=18$ . Dan 18 habis dibagi 9. Sehingga 819 habis dibagi 9.

Bukti :

Kita misalkan bilangan itu adalah $(ab \dots xyz)$ sebanyak $n$ digit.

$(ab \dots xyz)=a(10^{n-1})+b(10^{n-2})+ \dots +x(100)+y(10)+z$

Sekarang kita perhatikan bahwa Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 8

3 September 2010 msihabudin 8 komentar

Ciri bilangan yang habis dibagi 8. Yaitu tiga digit terakhir habis dibagi 8.

Contoh : apakah 3125 habis dibagi 8? Tiga digit terakhir yaitu 125. Dan 125 habis dibagi 8. Sehingga 3125 habis dibagi 8. Bagaimana dengan 56? Tidak jadi masalah karena 56 = 056. Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu 056. dan 56 habis dibagi 8. Sehingga 56 habis dibagi 8.

Bukti :

Kita misalkan bilangan itu adalah $(ab \dots wxyz)$ sebanyak $n$ digit. $z$ adalah satuan, $y$ adalah angka puluhan, Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 7

3 September 2010 msihabudin 8 komentar

Bila bagian satuannya dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7, maka bilangan itu habis dibagi 7.

Contoh : Apakah 5236 habis dibagi 7?

Kita pisahkan 6 (satuannya), kemudian $523-(6 \times 2)=511$ .

Apakah 511 habis dibagi 7? $51-(1 \times 2)=49$ .

Karena 49 habis dibagi 7, maka 5236 habis dibagi 7.

Bukti :

Misalkan bilangan awal adalah $P$

$P=(a_1a_2 \dots a_{n-1}a_n)$ sebanyak $n$ digit. Ini adalah bilangan awal.

$Q=(a_1a_2 \dots a_{n-1})$ bedakan dengan yang di atas. Bagian ini berkurang satu digit.

Sehingga diperoleh hubungan antara $P$ dan $Q$ , yaitu $P=10Q+a_n$ .

$R=Q-2z$ ini adalah syarat bilangan habis dibagi 7.

Kita dapat menuliskan syarat bilangan habis dibagi 7 seperti ini : Jika bilangan habis dibagi 7 maka (perhatikan $R$ di atas) $R$ habis dibagi 7. Jika $R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

Dari pernyataan itu bisa dikatakan : “bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika $R$ habis dibagi 7.” Sehingga kita harus membuktikan dua kali. yaitu untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka $R$ habis dibagi 7. Dan untuk jika $R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

#Bukti untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka $R$ habis dibagi 7

Bilangan awal yaitu $P$ . dan diketahui $P$ habis dibagi 7.

Kita tulis $7 \mid P$

Contohnya $a \mid b$ . Artinya $b$ habis dibagi $a$ . atau $a$ adalah faktor dari $b$ )

$7 \mid P$

$7 \mid (10Q+z)$

Kita punya teorema, jika $a \mid b$ , maka $a \mid nb$ dengan $n$ bilangan bulat. Sehingga kita boleh menuliskan

$7 \mid 2(10Q+z)$

$7 \mid (20Q+2z)$

Sekarang perhatikan bahwa 21 habis dibagi 7. Tentunya kelipatan dari 21 juga habis dibagi 7.

$7 \mid 21Q$

$7 \mid (21Q+2z-2z)$

$7 \mid (20Q+2z)+(Q-2z)$

Dalam keterbagian, kita punya teorema jika $p \mid q$ dan $p \mid q+r$ maka $p \mid r$

Sehingga diperoleh

$7 \mid Q-2z$

$7 \mid R$

Terbukti

#Bukti untuk jika $R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

$7 \mid R$

$7 \mid Q-2z$

Menurut teorema, jika $a \mid b$ , maka $a \mid nb$ dengan $n$ bilangan bulat.

$7 \mid 10(Q-2z)$

$7 \mid (10Q-20z)$

Seperti halnya bukti yang pertama, 21 habis dibagi 7. Sehingga,

$7 \mid -21z$

$7 \mid -20z-z$

$7 \mid 10Q-10Q-20z-z$

$7 \mid 10Q-20z-(10Q+z)$

Ada teorema pada keterbagian yang mengatakan, jika $p \mid q$ dan $p \mid q+r$ maka $p \mid r$

$7 \mid -(10Q+z)$

Menurut teorema, jika $p \mid q$ maka $p \mid -q$ . Maka,

$7 \mid (10Q+z)$

$7 \mid P$

Terbukti

Selanjutnya, Angka 2 ini disebut sebagai Multiplier.

Semoga bermanfaat.

Tulisan Terbaru :

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 6

3 September 2010 msihabudin 8 komentar

Ciri bilangan habis dibagi 6

Ciri bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Dengan kata lain bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2.

Contoh : apakah 234 habis dibagi 6?

Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya. $2 + 3 + 4 = 9$ . Dan 9 habis dibagi 3. Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 dan bilangan itu genap. Maka 234 habis dibagi 6.

Bukti :

Kita juga bisa mengatakan bahwa jika bilangan habis dibagi $ab$ , maka bilangan itu habis dibagi $a$ dan habis dibagi $b$ . Bukti : Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 5

2 September 2010 msihabudin 8 komentar

Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.

Contoh : Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5. Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5.

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak $n$ digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10a_1 \times 10^{n-2} + 10a_2 \times 10^{n-3}) + \dots +10a_{n-1}+a_n$

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10(a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1})+a_n$

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=5(2(a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}))+a_n$

Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 4

2 September 2010 asimtot 8 komentar

Dua digit terakhir habis dibagi 4.

Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis dibagi 4.

Contoh : Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4. Sehingga 324 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.

Bukti : Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 3

2 September 2010 msihabudin 8 komentar

Ciri bilangan habis dibagi 3 adalah jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. 🙄

Contoh : Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, $2+1+3=6$ . Karena 6 (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi 3, maka bilangan itu (213) habis dibagi 3.

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$

Sekarang perhatikan berikut ini Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Ciri Bilangan habis dibagi 2

2 September 2010 msihabudin 8 komentar

Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak $n$ digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk Baca selengkapnya…

Kategori:bilangan habis dibagi

Older Entries