Archive

Posts Tagged ‘pecahan berlanjut’

pi, e dan phi untuk pecahan berlanjut

  

Tentu kita tahu bahwa \pi,e dan \phi merupakan bilangan irasional. Dan pada postingan sebelumnya dikatakan bahwa setiap bilangan irasional bisa dituliskan menjadi bentuk pecahan berulang yang tak berhenti.

Contoh yang paling sederhana dan merupakan contoh pada postingan sebelumnya, yaitu untuk \sqrt{2}, yaitu :

  

\sqrt{2}=1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}}}

  

Atau bisa ditulis sebagai :

[1; \overline{2}]

  

Sekarang, munsul pertanyaan. Pi adalah bilangan irasional. Tentunya, pi bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan berulang. Lalu, bagaimana menuliskan pi ke dalam bentuk pecahan berulang? Bagimana dengan e dan juga bagaimana dengan penulisan $latet \phi$ ke dalam bentuk pecahan berulang?

  

Semua bilangan irasional ini tentu bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan berulang. Penulisannya adalah sebagai berikut :

  

\phi=1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}}}

  

e=2+ \frac{1}{1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \dots}}}}}

  

\pi=3+ \frac{1}{7+ \frac{1}{15+ \frac{1}{1+ \frac{1}{292 + \frac{1}{1 + \dots}}}}}

 

 

Dalam penulisan yang sederhana, bisa dituliskan seperti berikut ini :

 

\phi=[1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, \dots]

 

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,1, \dots ,1,2n,1, \dots]

 

\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1, \dots]

 

 

Komentar :

\phi (phi) sangat teratur. Semua angkanya adalah 1. Ini yang sangat bagis dan menarik untuk dikaji. Kalau e membentuk suatu pola. 1,2,1,1,4,1, \dots, 1,2n,1, \dots terus berlanjut seperti itu. Sedangkan untuk \pi (pi) angkanya tidak beraturan. Tentunya bisa dilihat sendiri pada penulisan di atas.

 

Tulisan Terbaru :

 

Pecahan berlanjut (continued fraction)

26 April 2011 3 komentar

  

Kalau postingan sebelumnya mengenai desimal berulang, kali ini akan disajikan yang berbeda, yaitu pecahan berlanjut atau pecahan berulang.

Setiap bilangan real pasti bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan berulang. Entah itu bilangan rasional atau bilangan irasional. Bedanya, jika bilangan itu rasional, maka pecahan berulang yang terbentuk adalah terhingga (finite). Sedangkan jika bilangan itu irasional, pecahan berulangnya adalah tak hingga (infinite) / tak berhenti.

Baca selanjutnya…

Akar 2, dituliskan dalam bentuk pecahan

4 Januari 2011 2 komentar

Apa bisa?

Pertanyaan yang muncul pertama kali di kepala kita. Apa bisa \sqrt{2} dituliskan ke dalam bentuk pecahan. Padahal selama ini kita mengenal bentuk bilangan rasional saja yang bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan.

Memang, hanya bilangan rasional saja yang bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} dengan a dan b bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Penulisan bilangan irasional ini ke dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} tetapi b bukan merupakan bilangan bulat utuh. Baca selanjutnya…