Diskusi Asimtot 1

Tinggalkan komentar Go to comments

BILANGAN SEGITIGA DAN BILANGAN PRIMA

Beberapa bilangan segitiga yang pertama :

$1,3,6,10,15,21,28,36,45,55, \dots$

Rumus umumnya : $\frac{n(n+1)}{2}$

Dugaan

[pertama]

“jika p bilangan prima, maka $p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga”

[kedua]

“bilangan dengan bentuk $p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga ke- $(12k+1)$ dan ke- $(12k+10)$ dengan k anggota bilangan cacah dan p adalah bilangan prima”

Sebelum menuju hal tersebut. Kami sedikit berdikusi dan mencari hal-hal tentang bilangan segitiga. Seperti berikut ini :

[satu] Bilangan segitiga ke- $3k$ (k bilangan asli), maka bilangan segitiga itu habis dibagi 3. Misalnya bilangan segitiga ke 3, 6, 9, 12, 15, … secara berurutan adalah 6, 21, 45, 78, 120, … (semuanya habis dibagi 3)

Bukti :

Menggunakan induksi matematika. Akan dibuktikan $\frac{(1+3k)3k}{2}=3p$

Benar untuk k=1, yaitu $\frac{(4)3}{2}=3.2$

Anggap benar untuk $k=l$ , yaitu benar bahwa $\frac{(1+3l)3l}{2}=3q$ atau $\frac{(9l^2+3l}{2}=3r$

Akan dibuktikan benar untuk $k=l+1$

$\frac{(1+3(l+1))3(l+1)}{2}$

$= \frac{(3l+4)(3l+3)}{2}$

$= \frac{9l^2+9l+12l+12}{2}$

$= \frac{(9l^2+3l}{2}+ \frac{18l+12}{2}$

$= 3r+(9l+6)$

$= 3(r+3l+2)$

Merupakan kelipatan 3. Sehingga terbukti bahwa untuk semua k, $\frac{(1+3k)3k}{2}$ hais dibagi 3. Atau juga bisa dikatakan bahwa untuk setiap $n=3k$ , maka $\frac{(1+n)n}{2}$ habis dibagi 3.

[dua] Bilangan segitiga ke- $(3k+2)$ dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 3. Bilangan segitiga ke 2, 5, 8, 11, … berurutan adalah 3, 15, 36, 66, … . Dan mereka semua habis dibagi 3. Buktinya silahkan dicoba. Langkahnya sama dengan yang di atasnya.

[tiga] Bilangan segitiga ke- $(3k+1)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 3. Melainkan akan bersisa 1 jika dibagi 3. Bukti silahkan sebagai latihan

[empat] Bilangan segitiga ke- $(4k)$ dengan k bilangan asli, habis dibagi 2

[lima] Bilangan segitiga ke- $(4k-1)$ dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 2

[enam] Bilangan segitiga ke – $(4k+1)$ dan ke – $(4k+2)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2.

Ini akan mengakibatkan bahwa bilangan segitiga ke- $(12+1)$ dan bilangan segitiga ke- $(12k+10)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2 dan juga tidak habis dibagi 3.

Lalu, apakah mereka merupakan bilangan prima?

Bilangan segitiga ke- $(12k+1)$ dan ke- $(12k+10)$ yang pertama antara lain

bilangan segitiga ke 1, 10, 13, 22, 25, 34, 37, 46, … berurutan adalah 1, 55, 91, 253, 325, 595, 703, 1081, …

Mereka semua bukan bilangan prima. secara berurutan mereka habis dibagi 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

{pembaginya tidak berurutan merupakan bilangan prima}

Ini penyebab kami mendiskusikan ini lebih dalam. Kami dikagetkan dengan berurutannya bilangan prima dari 5, 7, 11, 13, 17, 19

Tetapi ternyata ada lubang-lubang yang menggagalkan. Beberapa pada tabel berikut :

Bilangan segitiga ke-	Bilangan segitiga	Habis dibagi oleh
1	1	1
10	55	5
13	91	7
22	253	11
25	325	13
34	595	17
37	703	19
46	1081	23
49	1225	5
58	1711	29
61	1891	31
70	2485	5
73	2701	37
82	3403	41
85	3655	43
94	4465	47

Kami mencoba terus menggalinya. Dan muncullah dugaan-dugaan.

Inilah yang akan menjadi bahasan kita selanjutnya. Ini kami temukan dari mencari sendiri. Kami menyimpulkan bahwa, nantinya akan mempunyai dugaan sebagai berikut

“jika p bilangan prima, maka $p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga”

Dan dugaan kami lagi yaitu

“bilangan dengan bentuk $p(2p+1)$ pasti merupakan bilangan segitiga ke- $(12k+1)$ dan ke- $(12k+10)$ dengan k anggota bilangan cacah”

[pertama]

“jika p bilangan prima, maka $p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga”

Bukti : ternyata sangat mudah untuk dibuktikan!

$p(2p+1)= \frac{2p(2p+1)}{2}$