Diskusi Asimtot 1

 

BILANGAN SEGITIGA DAN BILANGAN PRIMA


Beberapa bilangan segitiga yang pertama :

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55, \dots

Rumus umumnya : \frac{n(n+1)}{2}

 
Dugaan


[pertama]

“jika p bilangan prima, maka p(2p+1) adalah bilangan segitiga”

 

[kedua]

“bilangan dengan bentuk p(2p+1) adalah bilangan segitiga ke-(12k+1) dan ke-(12k+10) dengan k  anggota bilangan cacah dan p adalah bilangan prima”

 


Sebelum menuju hal tersebut. Kami sedikit berdikusi dan mencari hal-hal tentang bilangan segitiga. Seperti berikut ini :

 

[satu] Bilangan segitiga ke-3k (k bilangan asli), maka bilangan segitiga itu habis dibagi 3. Misalnya bilangan segitiga ke 3, 6, 9, 12, 15, … secara berurutan adalah 6, 21, 45, 78, 120, … (semuanya habis dibagi 3)

Bukti :

Menggunakan induksi matematika. Akan dibuktikan \frac{(1+3k)3k}{2}=3p

Benar untuk k=1, yaitu \frac{(4)3}{2}=3.2

Anggap benar untuk k=l, yaitu benar bahwa \frac{(1+3l)3l}{2}=3q atau \frac{(9l^2+3l}{2}=3r

Akan dibuktikan benar untuk k=l+1

\frac{(1+3(l+1))3(l+1)}{2}

= \frac{(3l+4)(3l+3)}{2}

= \frac{9l^2+9l+12l+12}{2}

= \frac{(9l^2+3l}{2}+ \frac{18l+12}{2}

= 3r+(9l+6)

= 3(r+3l+2)

Merupakan kelipatan 3. Sehingga terbukti bahwa untuk semua k, \frac{(1+3k)3k}{2} hais dibagi 3. Atau juga bisa dikatakan bahwa untuk setiap n=3k, maka \frac{(1+n)n}{2} habis dibagi 3.

 

[dua] Bilangan segitiga ke-(3k+2) dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 3. Bilangan segitiga ke 2, 5, 8, 11, … berurutan adalah 3, 15, 36, 66, … . Dan mereka semua habis dibagi 3. Buktinya silahkan dicoba. Langkahnya sama dengan yang di atasnya.

 

[tiga] Bilangan segitiga ke-(3k+1) dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 3. Melainkan akan bersisa 1 jika dibagi 3. Bukti silahkan sebagai latihan

 

[empat] Bilangan segitiga ke-(4k) dengan k bilangan asli, habis dibagi 2

 

[lima] Bilangan segitiga ke-(4k-1) dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 2

 

[enam] Bilangan segitiga ke – (4k+1) dan ke – (4k+2) dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2.

Ini akan mengakibatkan bahwa bilangan segitiga ke-(12+1) dan bilangan segitiga ke-(12k+10) dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2 dan juga tidak habis dibagi 3.

 

Lalu, apakah mereka merupakan bilangan prima?

Bilangan segitiga ke-(12k+1) dan ke-(12k+10) yang pertama antara lain

bilangan segitiga ke 1, 10, 13, 22, 25, 34, 37, 46, … berurutan adalah 1, 55, 91, 253, 325, 595, 703, 1081, …

Mereka semua bukan bilangan prima. secara berurutan mereka habis dibagi 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

{pembaginya tidak berurutan merupakan bilangan prima}

 

Ini penyebab kami mendiskusikan ini lebih dalam. Kami dikagetkan dengan berurutannya bilangan prima dari 5, 7, 11, 13, 17, 19

Tetapi ternyata ada lubang-lubang yang menggagalkan. Beberapa pada tabel berikut :

 

Bilangan segitiga ke- Bilangan segitiga Habis dibagi oleh
1 1 1
10 55 5
13 91 7
22 253 11
25 325 13
34 595 17
37 703 19
46 1081 23
49 1225 5
58 1711 29
61 1891 31
70 2485 5
73 2701 37
82 3403 41
85 3655 43
94 4465 47

 

Kami mencoba terus menggalinya. Dan muncullah dugaan-dugaan.

Inilah yang akan menjadi bahasan kita selanjutnya. Ini kami temukan dari mencari sendiri. Kami menyimpulkan bahwa, nantinya akan mempunyai dugaan sebagai berikut

 

“jika p bilangan prima, maka p(2p+1) adalah bilangan segitiga”

 

Dan dugaan kami lagi yaitu

 

“bilangan dengan bentuk p(2p+1) pasti merupakan bilangan segitiga ke-(12k+1) dan ke-(12k+10) dengan k anggota bilangan cacah”

 

 

[pertama]


“jika p bilangan prima, maka p(2p+1) adalah bilangan segitiga”

Bukti : ternyata sangat mudah untuk dibuktikan!

p(2p+1)= \frac{2p(2p+1)}{2}

yang merupakan rumus untuk bilangan segitiga. Dengan m=2p

Sangat disayangkan. Ternyata sangatlah sederhana. Meskipun demikian tak menjadi masalah. Karena ini bari diskusi pertama.



[kedua]

“bilangan dengan bentuk p(2p+1) pasti merupakan bilangan segitiga ke-(12k+1) dan ke-(12k+10) dengan k anggota bilangan cacah”

 

|bersambung|

 

  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: