Beranda > bukti, rumus math > Rumus Cepat Integral (Mencari Luas) I

Rumus Cepat Integral (Mencari Luas) I

6 Agustus 2012 Tinggalkan komentar Go to comments

 

Tentu saja bagi yang suka rumus cepat, rumus ini sudah tidak asing bagi teman-teman yang sudah belajar mengenai integral. Rumus cepat untuk mencari luas ini sudah banyak diketahui oleh siswa.

Luas= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}

Yaitu rumus cepat untuk mencari luas yang dibatasi oleh suatu kurva kuadrat dan sumbu x.

Ada siswa yang ingin tahu, sebenarnya dari manakah asal rumus tersebut?

Di sini akan kami coba untuk sedikit menjabarkan rumus tersebut.

 

Soal :

Luas daerah yang dibatasi oleh y=x^2-25 dan sumbu x adalah … satuan luas

Jawab : (Cara Cepat)

a=1 , b=0, c=-25 dan D=100

 

Luas= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}= \dfrac{100 \sqrt{100}}{6 \times 1^2}= \dfrac{1000}{6}  satuan luas

 

Darimana rumus L= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2} ?

Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva kuadrat dengan sumbu x sama dengan menghitung

 

\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx

 

Mengapa bisa demikian.

Perhatikan saja batas atas dan batas bawah integral. Mereka merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut. Karena memang yang kita cari adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva kuadrat dan sumbu x. Tentu saja batas bawahnya adalah akar yang terkecil, dan batas atasnya adalah akar yang besar.

 

Sekarang kita misalkan f(x)=ax^2+bx+c

 

\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int \limits_{x_1}^{x_2} ax^2+bx+c \, dx

\dfrac{a}{3}(x_2^3-x_1^3)+ \dfrac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)

\dfrac{a}{3}(x_2-x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1x_2)+ \dfrac{b}{2}(x_2-x_1)(x_1+x_2)+c(x_2-x_1)

(x_2-x_1) \big( \dfrac{a}{3}(x_2^2+x_1^2+x_1x_2)+ \dfrac{b}{2}(x_1+x_2)+c \big)

 

Ingat!

x_1+x_2= \dfrac{-b}{a}, \qquad x_1x_2= \dfrac{c}{a}, \qquad x_2-x_1= \dfrac{ \sqrt{D}}{a}

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2= \dfrac{b^2}{a^2}- \dfrac{2c}{a}= \dfrac{b^2-2ac}{a^2}

 

Maka diperoleh

\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx

= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{a}{3}( \dfrac{b^2-2ac}{a^2}+ \dfrac{c}{a})+ \dfrac{b}{2}( \dfrac{-b}{a})+c \big)

= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{2b^2-2ac-3b^2+6ac}{6a} \big)

= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{-D}{6a} \big)

= \dfrac{-D \sqrt{D}}{6a^2}

 

Sudah terbukti. .

 

 

Adakah rumus cepat yang lain untuk integral mencari luas daerah? Ada, yaitu

\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }

 

Apa lebar dan apa tinggi? Lebih mudah jika kita langsung menuju contoh berikut :

Bagaimana jika menemukan soal yang hanya berupa gambar seperti gambar berikut

Berapa luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x?

 

Solusi bisa menggunakan cara cepat dengan rumus

\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }

Keterangan :

Lebar = jarak kedua titik potong pada sumbu x

Tinggi = jarak antara puncak sampai sumbu x

Dengan demikian, lebar=3-1=2 dan tinggi=3

Sehingga Luas = \dfrac{2}{3} \times 2 \times 3=4 \, satuan \, luas

 

Darimana rumus cara cepat untuk luas yang berikut ini

\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }

 

Seperti pada sebelumnya, kita misalkan persamaan kuadratnya yaitu ax^2+bx+c

Maka,

Lebar = x_2-x_1= \dfrac{ \sqrt{D}}{a}

Tinggi = rumus y puncak = \dfrac{D}{4a}

 

Sehingga Luas = \dfrac{2}{3} \times ( \dfrac{\sqrt{D}}{a}) \times ( \dfrac{D}{4a}) = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}

 

Kapan kita menggunakan rumus cepat yang pertama dan kapan kita menggunakan rumus cepat yang kedua?

Tips :  Kita bisa menggunakan rumus cepat yang pertama kalau kita dihadapkan dengan soal yang tidak diketahui gambarnya, tetapi di situ diketahui persamaan kuadratnya.

Kita bisa menggunakan rumus cepat yang kedua ketika tidak ada persamaan kuadrat, dan hanya ada gambar seperti gambar pada contoh di atas.

Inilah kelemahannya rumus cepat. Kita harus mengetahui kondisinya dulu sebelum melakukan perhitungan dengan rumus cepat.

 

Bagaimana? Apakah tulisan ini bisa sedikit membantu untuk memahami asal rumus cepat?

Sampai di sini dulu untuk postingan rumus cepat untuk mencari luas dengan integral.

 

Tulisan Terbaru :

Kategori:bukti, rumus math
  1. Miya
    14 Februari 2019 pukul 2:42 PM
    Balas

    Sayang sekali, rumusnya hanya bisa digunakan untuk fungsi kuadrat selain itu rumus cepat ini tidak bisa digunakan. Harus menggunakan yang manual

  2. Ucup
    17 Mei 2018 pukul 3:57 PM
    Balas

    Dari soal diatas Dnya =100 Dari mana ya?

  3. teddy A D
    21 Oktober 2016 pukul 11:58 AM
    Balas

    Bapak , saya ingin tanya , rumus yang D akar D / 6 a kuadrat seharusnya ada minus tidak bapak didepannya terima kasih bapak.

    • msihabudin
      22 Oktober 2016 pukul 12:47 AM

      pakai tanda mutlak saja ya.. jadi nilainya positif

  4. alberto arios
    21 Agustus 2016 pukul 4:18 PM
    Balas

    permisi pak kalau boleh tau 2/3 itu dari mana ya?

  5. alberto arios
    21 Agustus 2016 pukul 3:49 PM
    Balas

    permisi pak kalau boleh tahu 2/3 itu darimana ya ?

  6. Faozaro Batee
    9 Februari 2016 pukul 9:37 PM
    Balas

    (y)

  7. Irwan
    28 Juli 2015 pukul 11:26 AM
    Balas

    makasih infonya. Sangat bermanfaat.

  8. fadilahfahmid
    21 September 2014 pukul 4:12 PM
    Balas

    min saya mau bertanya kalau integralnya (2x^2 + 3) berarti a=… b=… c=… d=… berapa min. bingung disitunya

  9. Rafi Faishal Azzam
    12 September 2014 pukul 7:50 PM
    Balas

    Wah bermanfaat banget !! Rating maksimum dah (y)

  10. Maruf29 (@Mr_29_11)
    8 September 2014 pukul 7:53 PM
    Balas

    makasih artikel sangat mudah dimengerti

  11. ade
    23 Juni 2014 pukul 1:20 PM
    Balas

    izin copy ya terimakasih banyak 😀

    ade firmansyah

  12. Tri Utomo
    8 April 2014 pukul 8:42 PM
    Balas

    maturnuwu!

  13. zakiyatul munawaroh
    18 Desember 2013 pukul 11:40 AM
    Balas

    makasih banget 🙂
    sangat membantu 🙂

  14. Yuda Mahesa
    8 September 2013 pukul 10:08 PM
    Balas

    Thx Infonya semoga bermanfaat utk ku 🙂

  15. indah
    30 Januari 2013 pukul 6:59 AM
    Balas

    bagaimana menghitung luas jika luas daerahnya itu terpotong sbuah kufva lain?

  16. Nur aini
    4 Januari 2013 pukul 8:08 AM
    Balas

    mnta tlg kalau soalnya bgni cra pnyelesaiannya bagaimana?

  17. arifman zay
    20 November 2012 pukul 12:02 PM
    Balas

    bagaimana jika terdapat pada soal mempunyai persamaan kuadrat dan telah di ketahui gambarnya. rumus apa yg di gunakan

  18. Ardi Noey
    20 November 2012 pukul 11:52 AM
    Balas

    mantap, i like it…
    semuanya penjelasan sudah sangat jelas dijabarkan..
    karena luas tidak ada yang negatif maka dimutlakkan saja,,

  19. mart2601rienrin
    16 Oktober 2012 pukul 3:10 PM
    Balas

    bagaimana kalo rumus segi n tak beraturan ?

  20. Winny Rohandi
    13 September 2012 pukul 8:28 AM
    Balas

    untuk rumus cepat d atas, cara mendapatkan nilai D itu gimana ??

    nindy_blue@yahoo.com

  21. Widiprihartono
    22 Agustus 2012 pukul 1:40 PM
    Balas

    Rumus pertama pembuktiannya kok jadi ada tanda minusnya, sementara rumus yang mau dibuktikan tidak ada minusnya. Apa tidak berpengaruh pada hasil?

    • msihabudin
      26 Agustus 2012 pukul 5:29 PM

      mutlak-kan saja.. . gak pa2.. . karena yang dibuktikan itu dibawah sumbu x

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan komentar