Beranda > bukti, rumus math > Rumus Cepat Integral (Mencari Luas) I

Rumus Cepat Integral (Mencari Luas) I

 

Tentu saja bagi yang suka rumus cepat, rumus ini sudah tidak asing bagi teman-teman yang sudah belajar mengenai integral. Rumus cepat untuk mencari luas ini sudah banyak diketahui oleh siswa.

Luas= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}

Yaitu rumus cepat untuk mencari luas yang dibatasi oleh suatu kurva kuadrat dan sumbu x.

Ada siswa yang ingin tahu, sebenarnya dari manakah asal rumus tersebut?

Di sini akan kami coba untuk sedikit menjabarkan rumus tersebut.

 

Soal :

Luas daerah yang dibatasi oleh y=x^2-25 dan sumbu x adalah … satuan luas

Jawab : (Cara Cepat)

a=1 , b=0, c=-25 dan D=100

 

Luas= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}= \dfrac{100 \sqrt{100}}{6 \times 1^2}= \dfrac{1000}{6}  satuan luas

 

Darimana rumus L= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2} ?

Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva kuadrat dengan sumbu x sama dengan menghitung

 

\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx

 

Mengapa bisa demikian.

Perhatikan saja batas atas dan batas bawah integral. Mereka merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut. Karena memang yang kita cari adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva kuadrat dan sumbu x. Tentu saja batas bawahnya adalah akar yang terkecil, dan batas atasnya adalah akar yang besar.

 

Sekarang kita misalkan f(x)=ax^2+bx+c

 

\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int \limits_{x_1}^{x_2} ax^2+bx+c \, dx

\dfrac{a}{3}(x_2^3-x_1^3)+ \dfrac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)

\dfrac{a}{3}(x_2-x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1x_2)+ \dfrac{b}{2}(x_2-x_1)(x_1+x_2)+c(x_2-x_1)

(x_2-x_1) \big( \dfrac{a}{3}(x_2^2+x_1^2+x_1x_2)+ \dfrac{b}{2}(x_1+x_2)+c \big)

 

Ingat!

x_1+x_2= \dfrac{-b}{a}, \qquad x_1x_2= \dfrac{c}{a}, \qquad x_2-x_1= \dfrac{ \sqrt{D}}{a}

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2= \dfrac{b^2}{a^2}- \dfrac{2c}{a}= \dfrac{b^2-2ac}{a^2}

 

Maka diperoleh

\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx

= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{a}{3}( \dfrac{b^2-2ac}{a^2}+ \dfrac{c}{a})+ \dfrac{b}{2}( \dfrac{-b}{a})+c \big)

= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{2b^2-2ac-3b^2+6ac}{6a} \big)

= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{-D}{6a} \big)

= \dfrac{-D \sqrt{D}}{6a^2}

 

Sudah terbukti. .

 

 

Adakah rumus cepat yang lain untuk integral mencari luas daerah? Ada, yaitu

\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }

 

Apa lebar dan apa tinggi? Lebih mudah jika kita langsung menuju contoh berikut :

Bagaimana jika menemukan soal yang hanya berupa gambar seperti gambar berikut

Berapa luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x?

 

Solusi bisa menggunakan cara cepat dengan rumus

\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }

Keterangan :

Lebar = jarak kedua titik potong pada sumbu x

Tinggi = jarak antara puncak sampai sumbu x

Dengan demikian, lebar=3-1=2 dan tinggi=3

Sehingga Luas = \dfrac{2}{3} \times 2 \times 3=4 \, satuan \, luas

 

Darimana rumus cara cepat untuk luas yang berikut ini

\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }

 

Seperti pada sebelumnya, kita misalkan persamaan kuadratnya yaitu ax^2+bx+c

Maka,

Lebar = x_2-x_1= \dfrac{ \sqrt{D}}{a}

Tinggi = rumus y puncak = \dfrac{D}{4a}

 

Sehingga Luas = \dfrac{2}{3} \times ( \dfrac{\sqrt{D}}{a}) \times ( \dfrac{D}{4a}) = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}

 

Kapan kita menggunakan rumus cepat yang pertama dan kapan kita menggunakan rumus cepat yang kedua?

Tips :  Kita bisa menggunakan rumus cepat yang pertama kalau kita dihadapkan dengan soal yang tidak diketahui gambarnya, tetapi di situ diketahui persamaan kuadratnya.

Kita bisa menggunakan rumus cepat yang kedua ketika tidak ada persamaan kuadrat, dan hanya ada gambar seperti gambar pada contoh di atas.

Inilah kelemahannya rumus cepat. Kita harus mengetahui kondisinya dulu sebelum melakukan perhitungan dengan rumus cepat.

 

Bagaimana? Apakah tulisan ini bisa sedikit membantu untuk memahami asal rumus cepat?

Sampai di sini dulu untuk postingan rumus cepat untuk mencari luas dengan integral.

 

Tulisan Terbaru :

About these ads
Kategori:bukti, rumus math
  1. ade
    23 Juni 2014 pukul 1:20 PM

    izin copy ya terimakasih banyak :D

    ade firmansyah

  2. 8 April 2014 pukul 8:42 PM

    maturnuwu!

  3. zakiyatul munawaroh
    18 Desember 2013 pukul 11:40 AM

    makasih banget :)
    sangat membantu :)

  4. 8 September 2013 pukul 10:08 PM

    Thx Infonya semoga bermanfaat utk ku :)

  5. indah
    30 Januari 2013 pukul 6:59 AM

    bagaimana menghitung luas jika luas daerahnya itu terpotong sbuah kufva lain?

  6. Nur aini
    4 Januari 2013 pukul 8:08 AM

    mnta tlg kalau soalnya bgni cra pnyelesaiannya bagaimana?

  7. 20 November 2012 pukul 12:02 PM

    bagaimana jika terdapat pada soal mempunyai persamaan kuadrat dan telah di ketahui gambarnya. rumus apa yg di gunakan

  8. 20 November 2012 pukul 11:52 AM

    mantap, i like it…
    semuanya penjelasan sudah sangat jelas dijabarkan..
    karena luas tidak ada yang negatif maka dimutlakkan saja,,

  9. 16 Oktober 2012 pukul 3:10 PM

    bagaimana kalo rumus segi n tak beraturan ?

  10. 13 September 2012 pukul 8:28 AM

    untuk rumus cepat d atas, cara mendapatkan nilai D itu gimana ??

    nindy_blue@yahoo.com

  11. Widiprihartono
    22 Agustus 2012 pukul 1:40 PM

    Rumus pertama pembuktiannya kok jadi ada tanda minusnya, sementara rumus yang mau dibuktikan tidak ada minusnya. Apa tidak berpengaruh pada hasil?

    • 26 Agustus 2012 pukul 5:29 PM

      mutlak-kan saja.. . gak pa2.. . karena yang dibuktikan itu dibawah sumbu x

  1. No trackbacks yet.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 217 pengikut lainnya.

%d blogger menyukai ini: