fungsi | Hasil Pencarian | Asimtot's Blog

Hasil Pencarian

Keyword: ‘fungsi’

Download Materi dan Latihan Soal Fungsi Kompleks (kuliah)

22 Februari 2012 msihabudin 9 komentar

Yang sedang menjalani kuliah Fungsi Kompleks atau mungkin disebut Analisis Kompleks, ini ada sedikit makalah / materi dari Offering G H 2009 Matematika Universitas Negeri Malang. Ada 9 makalah yang masing-masing membahas bagiannya masing-masing.. Di dalamnya ada sedikit penjelasan, soal-soal beserta jawabannya dan juga sedikit materi tambahan yang lain.

Materi-materinya adalah Fungsi Kompleks / Analisis Kompleks : Fungsi Bilinear, Fungsi Linear dan Transformasi Linear, Fungsi Eksponensial, Fungsi Kebalikan, Fungsi Trigonometri, Transformasi Bilinear, Transformasi Eksponensial, Transformasi Kebalikan, Transformasi Pangkat Baca selengkapnya…

Kategori:download

Fungsi bilangan bulat terbesar

9 Desember 2011 msihabudin 3 komentar

Fungsi bilangan bulat terbesar disimbolkan dengan $\big[ | \, \, | \big]$

Definisinya adalah : $\big[ |x| \big]$ adalah bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x

Misalnya $\big[ |3,2| \big]=3$ , $\big[ |4| \big]=4$

, $\big[ |5,99| \big]=5$ , dan seterusnya.. .

Contoh yang negatif, $\big[ |-2,5| \big]=-3$ Baca selengkapnya…

Kategori:perguruan tinggi

Hal-hal tentang persamaan dan fungsi kuadrat

25 November 2011 msihabudin 6 komentar

Persamaan kuadrat. Kita mengenalnya mungkin awalnya ketika kelas 1 SMA. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $ax^2+bx+c=0$

Tentu saja dengan a tidak sama dengan 0. Kalau a sama dengan 0, namanya sudah menjadi persamaan linear. Baca selengkapnya…

Kategori:pers. dan fungsi kuadrat

Fungsi Kompleks Trigonometri

19 November 2011 msihabudin Tinggalkan komentar

Kita sudah mengenal fungsi trigonometri untuk bilangan real. Tentu saja kita sudah mengetahui banyak hal, mengenai kapan sinus bernilai 1 dan kapan cosinus bernilai 1. Sifat-sifat fungsi trigonometri untuk bilangan real juga sangatlah banyak. Hal itu sudah kita pelajari sejak SMA dan ketika awal kuliah di Matematika.

Selain itu, kita tentu saja mengenal mengenai identitas trigonometri dan yang lainnya.

Lalu, bagaimana jika fungsi trigonometri tersebut dikembangkan di bilangan kompleks? Baca selengkapnya…

Kategori:perguruan tinggi

Periode dan amplitudo fungsi trigonometri

19 Juni 2011 msihabudin Tinggalkan komentar

Ada istilah periode, ada istilah periodik. Apa yang membedakannya?

Tentu saja dua kata ini mempunyai perbedaan yang cukup jauh.

Sebuah fungsi f dikatakan periodik jika terdapat bilangan p sedemikian rupa sehingga Baca selengkapnya…

Kategori:belajar SMA, trigonometri

Grafik fungsi trigonometri dan periode

9 Maret 2011 msihabudin 3 komentar

Berikut ini adalah 3 gambar grafik trigonometri yang mendasar, yaitu grafik fungsi sinus, grafik fungsi kosinus dan grafik fungsi tangen. Untuk grafik fungsi trigonometri yang lainnya, bisa digambar di software grafik yang pembaca miliki.

Cosinus

Baca selengkapnya…

Kategori:belajar SMA, trigonometri

Fungsi Rasional dan Asimtot

12 Januari 2011 msihabudin 9 komentar

Apa itu fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk $\frac{g(x)}{h(x)}$ , dimana $g(x)$ dan $h(x)$ adalah suatu fungsi polynomial. Dan $h(x)$ bukan nol. Domain dari fungsi polynomial ini adalah semua nilai x bilangan real kecuali nilai x yang mengakibatkan $h(x)=0$ .

Contoh fungsi rasional, $f(x)= \frac{2x}{4-x}$

Fungsi tersebut adalah fungsi rasional. Dengan penyebut suatu fungsi polynomial yang bisa sama dengan nol. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali suatu nilai x yang menyebabkan penyebut bernilai nol. Domainnya seluruh bilangan real, kecuali $4-x=0$ , kecuali $x=4$ .

Karena untuk $x=4$ , maka akan terjadi pembagian dengan nol. Ini akan menyalahi aturan. Lalu, gambar fungsinya adalah sebagai berikut.

Perhatikan gambar grafik tersebut. Gambar grafik tersebut untuk $x=3,9$ maka nilai y yang memenuhi adalah sangat besar. Dan untuk $x=3,99999 \dots$ , nilai dari y juga akan mendekati tak hingga. Untuk nilai $x=4,1$ juga demikian. Nilainya akan semakin mendekati minus tak hingga jika nilai $x=4,000000000 \dots 001$ .

Inilah yang akan ada hubungan dengan asimtot. Garis $x=4$ , ini disebut sebagai asimtot tegak (vertical asymptote) untuk gambar grafik ini. Dan garis $y=-2$ yang didekati oleh kurva menuju tak hingga, juga merupakan asimtot, yaitu asimtot datar. Jika mengetahui gambar grafiknya, kita akan sangat mudah untuk menentukan asimtotnya, bagaimana kalau tidak diketahui gambar grafiknya? Apakah kita harus menggambarnya dulu atau bagaimana?

Untuk mencari asimtot tegak, yang harus kita perhatikan adalah penyebut dari fungsi rasional tersebut. Ingat!Mencari asimtot tegak untuk fungsi yang di atas, kita tiggal membuat penyebutnya sama dengan nol. Tetapi ingat, beberapa fungsi rasional memang tidak mempunyai asimtot tegak. Misalnya saja suatu fungsi rasional yang mempunyai penyebut $x^2+4$ , bentuk ini tidak mungkin sama dengan nol. Sehingga suatu fungsi rasional yang berpenyebut seperti ini (atau yang lain, yang tidak bisa sama dengan nol), tidak akan mempunyai asimtot tegak.

Untuk mencari asimtot datar (horizontal asymptote), Perhatikan aturan berikut :

Pertama, Jika pangkat tertinggi pada pada pembilang sama dengan pangkat tertinggi pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di garis y sama dengan koefisien pangkat tertinggi pembilang per koefisien pangkat tertinggi penyebut.

Secara umum, jika fungsinya adalah $f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^m+qx^{m-1}+\dots+u}$ ,

maka asimtot datarnya ada di $y= \frac{a}{p}$

dengan m adalah pangkat teetinggi dari kedua polynomial tersebut. (polynomial sebagai pembilang dan polynomial sebagai penyebut)

Misalnya, asimtot datar dari fungsi rasional berikut ini

$f(x)= \frac{4x^3+2x-2}{2x^3-2x^2+5x-1}$

Asimtot datarnya adalah $y= \frac{4}{2}=2$

Kedua, jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di $y=0$

Secara umum, jika fungsinya adalah $f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^n+qx^{n-1}+\dots+u}$ , dengan $m<n$

maka asimtot datarnya ada di $y=0$

Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka tidak ada asimtot datar. Ingat!

Asimtot miring (oblique asymptote atau slant asymptote) bisa didapatkan untuk kasus yang terakhir ini.

Misalnya saja fungsi berikut ini :

$f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}$

Untuk mencari asimtot dari grafik tersebut, maka lakukan pembagian antara pembilang dan penyebut. Akan ada hasil pembagian dan sisa, seperti berikut :

$f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}= (2x+1)+ \frac{1}{x-2}$

Sekarang bisa kita lihat, ketika x menuju tak hingga, maka $\frac{1}{x-2}$ menuju nol.

Dan nilai $f(x)$ sama dengan $2x+1$ . Inilah yang bisa menyimpulkan bahwa, grafik kurva pada soal, akan mendekati garis $y=2x+1$ ketika x menuju tak hingga.

Asimtot miringnya pun didapatkan yaitu $y=2x+1$ ,

Ingat, tidak ada asimtot datar.

Asimtot tegak ada di $x=2$ , karena nilai inilah yang menyebabkan penyebut sama dengan nol.

Seperti pada gambar berikut :

Asimtot datar tidak ada ketika pangkat terbesar dari pembilang lebih besar dari pangkat terbesar dari penyebut. Ingat. Sehingga ini menyebabkan, tidak mungkin adanya suatu fungsi yang mempunyai asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan.

Tulisan Terbaru :

Kategori:kalkulus, perguruan tinggi Tag:asimtot, asimtot datar, asimtot miring, asimtot tegak, fungsi rasional

Fungsi Rasional (Rational Functions)

1 November 2010 msihabudin Tinggalkan komentar

Bentuk umum

Bentuk umum fungsi rasional adalah $r(x)= \frac{p(x)}{q(x)}$ dengan $p(x)$ dan $q(x)$ adalah fungsi polynomial dan $q(x) \ne 0.$

Fungsi rasional dibagi menjadi dua yaitu:

1.Fungsi rasional sejati yaitu jika derajat $p(x)$ lebih rendah dari derajat $q(x).$

Contoh: Fungsi rasional yang dirumuskan dengan $r(x)= \frac{3x-5}{x^2+3x-2}$ adalah fungsi rasional sejati. Dalam hal ini derajat pembilang $p(x)$ adalah satu dan derajat penyebut $q(x)$ adalah 2. Baca selengkapnya…

Kategori:Tidak Dikategorikan

Fungsi invers atau fungsi balikan

27 Oktober 2010 msihabudin Tinggalkan komentar

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan A.

Gambar. Sebuah fungsi fdan inversnya $f^{-1}$ .

Jika sebuah input x dimasukkan ke dalam fungsi f menghasilkan sebuah output y, y kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers $f^{-1}$ menghasilkan output x. f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan X, dan kodomainnya adalah himpunan Y. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi f adalah $f^{-1}$ dengan domain Y dan kodomain X, dengan aturan. Baca selengkapnya…

Kategori:kalkulus

Keberadaan Fungsi Balikan

27 Oktober 2010 msihabudin Tinggalkan komentar

Teorema : Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan.

Fungsi monoton

Misalkan $f(x)$ terdefinisi pada suatu himpunan R. Untuk semua $x_1,x_2 \in R,$ fungsi $f(x)$ dikatakan:

monoton naik, jika $x_1<x_2$ maka $f(x_1)<f(x_2)$

monoton turun, jika untuk $x_1<x_2$ maka $f(x_1)>f(x_2)$

monoton tak naik, jika untuk $x_1<x_2$ maka $f(x_1) \ge f(x_2)$

monoton tak turun, jika untuk $x_1<x_2$ maka $f(x_1) \le f(x_2)$

monoton datar, jika untuk $x_1 \ne x_2$ maka $f(x_1)=f(x_2)$

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun.

monoton naik, jika $x_1<x_2$ maka $f(x_1)<f(x_2)$

monoton turun, jika untuk $x_1<x_2$ maka $f(x_1)>f(x_2)$

Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers.

Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk $x_1<x_2$ maka berlaku $f(x_1)<f(x_2)$ untuk setiap $x_1,x_2$ pada daerah asalnya.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika $x_1 \ne x_2$ maka berlaku $f(x_1 ) \ne f(x_2)$ untuk setiap $x_1,x_2$ pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

Bukti teorema

Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan

Kita ambil $f:A \to B$

Jika f monoton murni maka f satu-satu dan onto

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.

Bukti untuk f satu-satu.

Diketahui f monoton naik $\iff x_1<x_2 \to f(x_1)<f(x_2)$

Dengan kata lain : $x_1 \ne x_2 \to f(x_1 ) \ne f(x_2)$

Terbukti f satu-satu.

Bukti untuk onto

Onto artinya $f(A)=B,$ yang ekuivalen dengan $f(A) \subseteq B$ dan $B \subseteq f(A)$

Untuk $f(A) \subseteq B$ sudah sangat jelas.

Sekarang akan dibuktikan untuk $B \subseteq f(A)$

Andaikan

$\exists b \in B$ dan $b \notin f(A)$

Maka $\exists x_1,x_2 \in A, \ni f(x_1)<b<f(x_2)$

Untuk $\lim \limits_{x \to x_1}x=c= \lim \limits_{x \to x_2}x, \qquad x_1 \ne c \ne x_2$

Maka $\lim \limits_{x \to x_1}f(x)= \lim \limits_{x \to x_2}f(x)=f(c)$

Menurut teorema apit $f(c)<b<f(c)$ maka haruslah $f(c)=b$

Jadi $c \in A \ni f(c)=b$

$b \in f(A)$

Kontradiksi bahwa $b \notin f(A)$

Jadi, f adalah Onto.

Contoh soal

Perlihatkan bahwa f memiliki balikan. Untuk $f(x)=2x^7-x^5+12x.$

Jawab :

Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu

$f'(x)=14x^6-5x^4+12$

Dimana nilai $f'(x)$ selalu lebih besar nol untuk setiap x.

$f'(x)=14x^6-5x^4+12>0$ untuk semua x

Jadi f naik pada seluruh garis real.

sehingga f memiliki balikan di sana.

Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk $f^{-1}$

Tulisan Terbaru :

Kategori:kalkulus

Cara menentukan fungsi balikan

27 Oktober 2010 msihabudin 2 komentar

Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk $f^{-1}(x)$ untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu $f^{-1}(y)$ kemudian kita menukarkan x dan y dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian $f^{-1}(x)$ Baca selengkapnya…

Kategori:kalkulus

Suatu fungsi yang inversnya adalah dirinya sendiri

3 Oktober 2010 msihabudin Tinggalkan komentar

Untuk mencari Invers suatu fungsi, yang biasanya kita lakukan adalah menukar $x$ dengan $y$ . Maksudnya, mengganti $y$ dengan $x$ dan mengganti $x$ dengan $y$ . Misalnya invers dari

$y=2x+2$

kita akan menukar peran $x$ sebagai $y$ dan menukar peran $y$ sebagai $x$ . Diperoleh

$x=2y+2$

secara umum, fungsi inversnya kita tuliskan sebagai

$y=x-2$

Baca selengkapnya…

Kategori:kalkulus

Hubungan panjang garis, fungsi linear dan koordinat

3 Oktober 2010 msihabudin 3 komentar

Selama ini yang kita ketahui adalah mengenai jarak dua titik jika diketahui koordinat kedua titik tersebut. Dengan kata lain, mencari panjang garisnya. Rumus yang sejak SMA sudah kita kenal yaitu

$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$

Sekarang, akan dibuat perumumannya mengenai panjang garis, koordinat-koordinatnya dan tentunya suatu fungsi linearnya. Jika panjang garisnya diketahui, fungsi linearnya diketahui dan salah satu koordinatnya diketahui. Bagaimana kita menentukan koordinat titik yang lain sehingga memenuhi jarak yang dimaksudkan? Baca selengkapnya…

Kategori:Tidak Dikategorikan

Older Entries